数学A 確率 問題 97 解説

方針・初手

並べる数字に重複があるので、まず重複順列として総数を数える。

「同じ数字が隣り合う」可能性があるのは $1$ と $2$ だけである。したがって、条件を満たさない場合を包除原理で数える。

解法1

まず、$1,1,2,2,3,4$ の $6$ 個を並べてできる $6$ 桁の自然数の総数を求める。

$1$ が $2$ 個、$2$ が $2$ 個重複しているので、総数は

$$ \frac{6!}{2!2!}=180 $$

である。

次に、同じ数字が全く隣り合っていないものを数える。

同じ数字が隣り合う可能性があるのは、$1$ と $2$ だけである。そこで、

• $A$：$1$ と $1$ が隣り合う並べ方
• $B$：$2$ と $2$ が隣り合う並べ方

とする。

まず、$A$ を数える。$1,1$ をひとまとまりのブロック $11$ とみなすと、

$$ 11,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4 $$

の $5$ 個を並べることになる。ただし $2$ が $2$ 個重複しているので、

$$ |A|=\frac{5!}{2!}=60 $$

である。

同様に、$2,2$ が隣り合う場合は、$22$ をひとまとまりにして

$$ 1,\ 1,\ 22,\ 3,\ 4 $$

を並べるので、

$$ |B|=\frac{5!}{2!}=60 $$

である。

次に、$A \cap B$ を数える。これは $1,1$ も $2,2$ もそれぞれ隣り合う場合であるから、$11$ と $22$ をそれぞれひとまとまりにして

$$ 11,\ 22,\ 3,\ 4 $$

の $4$ 個を並べればよい。よって、

$$ |A \cap B|=4!=24 $$

である。

したがって、少なくとも一方の同じ数字が隣り合う並べ方は、包除原理より

$$ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| =60+60-24 =96 $$

である。

よって、同じ数字が全く隣り合っていない並べ方は

$$ 180-96=84 $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{84}{180}=\frac{7}{15} $$

である。

解説

重複を含む数字の並べ方では、まず重複順列で総数を数える必要がある。

この問題では、隣り合う可能性がある同じ数字は $1$ と $2$ だけである。$3$ と $4$ はそれぞれ $1$ 個しかないので、隣り合いの条件には関係しない。

「全く隣り合っていない」を直接数えるよりも、その反対である「$1$ が隣り合う」または「$2$ が隣り合う」を数え、総数から引く方が処理しやすい。ただし、$1$ も $2$ も隣り合う場合を二重に数えるため、包除原理で補正する必要がある。

答え

②

$$ 180 $$

③

$$ \frac{7}{15} $$