数学A 確率 問題 98 解説

方針・初手

大中小のさいころは区別できるので、全事象は

$$ 6^3=216 $$

通りである。

それぞれの条件について、直接数えるか、補集合を用いて数える。

解法1

さいころを大・中・小の順に並べて、出た目を順序つきの組として考える。

まず、出た目の数がすべて $3$ 以下である場合を考える。各さいころの目は

$$ 1,2,3 $$

の $3$ 通りずつであるから、その場合の数は

$$ 3^3=27 $$

通りである。したがって、求める確率は

$$ \frac{27}{216}=\frac{1}{8} $$

である。

次に、出た目の数のうち最大のものが $3$ である場合を考える。

これは「すべての目が $3$ 以下」であり、かつ「すべての目が $2$ 以下」ではない場合である。

すべての目が $3$ 以下である場合は $3^3$ 通り、すべての目が $2$ 以下である場合は $2^3$ 通りであるから、最大値が $3$ である場合の数は

$$ 3^3-2^3=27-8=19 $$

通りである。したがって、求める確率は

$$ \frac{19}{216} $$

である。

最後に、出た目の数の積が $3$ の倍数となる場合を考える。

積が $3$ の倍数となるのは、少なくとも1つのさいころで $3$ の倍数、すなわち $3$ または $6$ が出る場合である。

これを直接数えるより、補集合を考える。積が $3$ の倍数でないのは、どのさいころにも $3$ または $6$ が出ない場合である。

そのとき各さいころの目は

$$ 1,2,4,5 $$

の $4$ 通りずつであるから、積が $3$ の倍数でない場合の数は

$$ 4^3=64 $$

通りである。よって、積が $3$ の倍数となる場合の数は

$$ 216-64=152 $$

通りである。したがって、求める確率は

$$ \frac{152}{216}=\frac{19}{27} $$

である。

解説

大中小のさいころは区別されるため、場合の数は順序つきで数える。したがって全事象は $6^3$ 通りである。

「最大が $3$」は「すべて $3$ 以下」から「すべて $2$ 以下」を引くのが自然である。また、「積が $3$ の倍数」は、少なくとも1つの目が $3$ の倍数であることと同値であるため、補集合を使うと計算が簡潔になる。

答え

①

$$ \frac{1}{8} $$

②

$$ \frac{19}{216} $$

③

$$ \frac{19}{27} $$