数学A 不定方程式 問題 3 解説

方針・初手

$27$ と $9$ はどちらも $3$ の累乗であるから、すべて底を $3$ にそろえる。すると指数の等式から、$x,y$ に関する一次不定方程式に帰着できる。

解法1

与えられた等式は

$$ 27^{9x}=\frac{3}{9^{4y}} $$

である。$27=3^3,\ 9=3^2$ より、左辺は

$$ 27^{9x}=(3^3)^{9x}=3^{27x} $$

となる。

一方、右辺は

$$ \begin{aligned} \frac{3}{9^{4y}} &= \frac{3}{(3^2)^{4y}} \\ \frac{3}{3^{8y}} \\ 3^{1-8y} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ 3^{27x}=3^{1-8y} $$

となる。底 $3$ は $1$ でない正の数なので、指数を比較して

$$ 27x=1-8y $$

を得る。すなわち

$$ 27x+8y=1 $$

である。

これを整数解について解く。合同式で考えると、

$$ 27x+8y=1 $$

より

$$ 27x \equiv 1 \pmod{8} $$

である。$27\equiv 3 \pmod{8}$ だから、

$$ 3x \equiv 1 \pmod{8} $$

となる。$3\cdot 3=9\equiv 1 \pmod{8}$ より、両辺に $3$ をかけて

$$ x\equiv 3 \pmod{8} $$

を得る。

したがって、整数 $k$ を用いて

$$ x=8k+3 $$

と表せる。これを $27x+8y=1$ に代入すると、

$$ 27(8k+3)+8y=1 $$

より

$$ 216k+81+8y=1 $$

である。よって

$$ 8y=-216k-80 $$

となり、

$$ y=-27k-10 $$

を得る。

以上より、整数解は

$$ x=8k+3,\qquad y=-27k-10 $$

である。ただし、$k$ は任意の整数である。

解説

この問題の要点は、$27$ と $9$ を別々の底として扱わず、どちらも $3$ の累乗として統一することである。

底を $3$ にそろえると、指数の比較によって

$$ 27x+8y=1 $$

という一次不定方程式になる。あとは整数解をすべて求めればよい。

$x$ を $8$ で割った余りから決めると処理が簡潔である。$27x\equiv 1\pmod{8}$ から $x\equiv 3\pmod{8}$ が出るため、$x=8k+3$ と置けば、対応する $y$ が一意に決まる。

答え

$$ x=8k+3,\qquad y=-27k-10 $$

ただし、$k$ は任意の整数である。