数学A 不定方程式 問題 4 解説

方針・初手

まず $2016$ と $2800$ を素因数分解して、最大公約数 $d$ と最小公倍数を求める。

その後、方程式 $2016x+2800y=d$ を $d$ で割り、一次不定方程式として整数解を求める。最後に一般解の中で $|x|+|y|$ が最小になるものを調べる。

解法1

$2016$ と $2800$ を素因数分解すると、

$$ 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7 $$

$$ 2800=2^4\cdot 5^2\cdot 7 $$

である。

したがって、最大公約数は共通する素因数の指数の小さい方を取って、

$$ d=2^4\cdot 7=112 $$

である。

また、最小公倍数は各素因数の指数の大きい方を取って、

$$ 2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7=50400 $$

である。

次に、

$$ 2016x+2800y=112 $$

を $112$ で割ると、

$$ 18x+25y=1 $$

となる。

まず $18x+25y=1$ の整数解を求める。$18x\equiv 1 \pmod{25}$ より、$18$ の逆元を考える。

$$ 18\cdot 7=126\equiv 1 \pmod{25} $$

であるから、

$$ x\equiv 7 \pmod{25} $$

となる。よって、整数 $t$ を用いて

$$ x=7+25t $$

と表せる。

これを $18x+25y=1$ に代入すると、

$$ 18(7+25t)+25y=1 $$

より、

$$ 126+450t+25y=1 $$

したがって、

$$ 25y=-125-450t $$

なので、

$$ y=-5-18t $$

である。

よって一般解は

$$ x=7+25t,\qquad y=-5-18t $$

である。

このとき、

$$ |x|+|y|=|7+25t|+|-5-18t| $$

を最小にする整数 $t$ を調べる。

$t=0$ のとき、

$$ x=7,\qquad y=-5 $$

であり、

$$ |x|+|y|=7+5=12 $$

である。

$t=1$ のとき、

$$ |32|+|-23|=55 $$

$t=-1$ のとき、

$$ |-18|+|13|=31 $$

となり、$t=0$ から離れると $|x|+|y|$ は大きくなる。

したがって、$|x|+|y|$ が最小となる整数解は

$$ x=7,\qquad y=-5 $$

である。

解説

この問題では、まず最大公約数を求めてから方程式全体を割ることが重要である。

$$ 2016x+2800y=d $$

は、そのまま扱うよりも $d=112$ で割って

$$ 18x+25y=1 $$

にした方が見通しがよい。

また、一次不定方程式の整数解は1つ見つけたら終わりではなく、一般解まで出す必要がある。そのうえで $|x|+|y|$ が最小になるものを選ぶ。

答え

$$ \boxed{\text{キ}=112} $$

$$ \boxed{\text{ク}=50400} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=7} $$

$$ \boxed{\text{コ}=-5} $$