数学A 整数問題 問題 8 解説

方針・初手

三角形の3辺であるためには、まず各辺の長さが正であり、さらに三角不等式を満たす必要がある。

ここでは $m$ に関する辺 $10-2m^2$ と $8+4m$ が整数 $m$ を強く制限するので、先に $m$ の候補を絞り、その後で $n$ を調べる。

解法1

3辺の長さは

$$ 10-2m^2,\quad 8+4m,\quad 9n $$

である。

辺の長さはすべて正でなければならない。したがって

$$ 10-2m^2>0 $$

より

$$ m^2<5 $$

であるから、

$$ m=-2,-1,0,1,2 $$

が候補である。

また

$$ 8+4m>0 $$

より

$$ m>-2 $$

である。よって $m=-2$ は除かれ、

$$ m=-1,0,1,2 $$

だけを調べればよい。

三角形の条件は、正の数 $a,b,c$ に対して

$$ |a-b|<c<a+b $$

である。ここで

$$ a=10-2m^2,\quad b=8+4m,\quad c=9n $$

とおく。

(i)

$m=-1$ のとき

$$ 10-2m^2=8,\quad 8+4m=4 $$

である。したがって

$$ |8-4|<9n<8+4 $$

すなわち

$$ 4<9n<12 $$

である。これを満たす整数 $n$ は

$$ n=1 $$

のみである。

(ii)

$m=0$ のとき

$$ 10-2m^2=10,\quad 8+4m=8 $$

である。したがって

$$ |10-8|<9n<10+8 $$

すなわち

$$ 2<9n<18 $$

である。これを満たす整数 $n$ は

$$ n=1 $$

のみである。

(iii)

$m=1$ のとき

$$ 10-2m^2=8,\quad 8+4m=12 $$

である。したがって

$$ |8-12|<9n<8+12 $$

すなわち

$$ 4<9n<20 $$

である。これを満たす整数 $n$ は

$$ n=1,2 $$

である。

(iv)

$m=2$ のとき

$$ 10-2m^2=2,\quad 8+4m=16 $$

である。したがって

$$ |2-16|<9n<2+16 $$

すなわち

$$ 14<9n<18 $$

である。

$n$ は整数なので、$9n$ は $9$ の倍数である。しかしこの範囲に入る正の $9$ の倍数は存在しない。よって、この場合は解なしである。

以上より、求める整数の組は

$$ (m,n)=(-1,1),(0,1),(1,1),(1,2) $$

である。

解説

まず辺の長さが正である条件から $m$ の候補を有限個に絞るのが初手である。特に $10-2m^2>0$ により $m$ は $-2$ から $2$ までに限られ、さらに $8+4m>0$ により $m=-2$ が除かれる。

その後、三角形の成立条件を

$$ |a-b|<c<a+b $$

の形で使うと、各 $m$ に対して $9n$ の範囲が一度に求められる。三角不等式は等号を含まないため、たとえば $9n=18$ が上限 $18$ に一致する場合は三角形にならない点に注意する。

答え

$$ (m,n)=(-1,1),(0,1),(1,1),(1,2) $$