数学A 整数問題 問題 10 解説

方針・初手

$24=3\cdot 8$ であり、$3$ と $8$ は互いに素である。したがって、$n$ が偶数のときは $a_n$ が $3$ と $8$ の両方で割り切れることを示せばよい。

一方、$n$ が奇数のときは $4$ で割った余りを見るのが最短である。

解法1

まず

$$ a_n=2n^3+4n=2n(n^2+2) $$

と因数分解しておく。

$n$ を $3$ で割った余りにより、$a_n$ が常に $3$ で割り切れることを示す。

(i)

$n\equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$2n(n^2+2)$ は $n$ を因数にもつので、

$$ a_n\equiv 0 \pmod{3} $$

である。

(ii)

$n\equiv 1,2 \pmod{3}$ のとき、どちらの場合も

$$ n^2\equiv 1 \pmod{3} $$

であるから、

$$ n^2+2\equiv 1+2\equiv 0 \pmod{3} $$

となる。よってこの場合も

$$ a_n=2n(n^2+2)\equiv 0 \pmod{3} $$

である。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n\equiv 0 \pmod{3} $$

が成り立つ。

次に、$n$ が偶数であるとする。このとき $n=2m$ とおけるので、

$$ \begin{aligned} a_n &=2(2m)^3+4(2m)\\ &=16m^3+8m\\ &=8m(2m^2+1) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ a_n\equiv 0 \pmod{8} $$

である。

以上より、$n$ が偶数のとき、$a_n$ は $3$ でも $8$ でも割り切れる。$3$ と $8$ は互いに素であるから、

$$ a_n\equiv 0 \pmod{24} $$

すなわち $a_n$ は $24$ で割り切れる。

次に、$n$ が奇数であるとする。このとき

$$ n\equiv 1 \pmod{2} $$

であるから、$n^2$ も奇数であり、

$$ n^2\equiv 1 \pmod{2} $$

である。したがって

$$ n^2+2\equiv 1+0\equiv 1 \pmod{2} $$

より、$n^2+2$ は奇数である。

よって

$$ a_n=2n(n^2+2) $$

において、$n$ も $n^2+2$ も奇数であるから、$n(n^2+2)$ は奇数である。したがって $a_n$ は

$$ 2\times \text{奇数} $$

の形であり、$2$ では割り切れるが $4$ では割り切れない。

したがって、$n$ が奇数のとき、$a_n$ は $4$ で割り切れない。

解説

この問題の要点は、$24$ をそのまま扱わず、互いに素な因数 $3$ と $8$ に分けることである。

$3$ で割り切れることは、$n$ の偶奇とは無関係に成り立つ。実際、$n$ が $3$ の倍数でなければ $n^2\equiv 1\pmod{3}$ となり、$n^2+2$ が $3$ の倍数になる。

一方、$8$ で割り切れることは $n$ が偶数であることから出る。$n=2m$ と置くことで $8$ が因数として現れる。

奇数の場合は、$4$ で割った余りを直接見るよりも、$a_n=2n(n^2+2)$ として「$2\times\text{奇数}$」の形になることを確認すると簡潔である。

答え

$n$ が偶数のとき、$a_n$ は $24$ で割り切れる。

$n$ が奇数のとき、$a_n$ は $4$ で割り切れない。