数学A 整数問題 問題 16 解説

方針・初手

$z$ の範囲をまず絞る。$x \geqq y \geqq 2$ より左辺は高々 $1$ であるから、右辺から $z$ の候補は有限個になる。

その後、分数方程式を因数分解できる形に変形し、約数の組を調べる。

解法1

与えられた等式は

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}+\frac{z}{12} $$

である。$x \geqq y \geqq 2$ より

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $$

である。したがって

$$ \frac{1}{2}+\frac{z}{12}\leqq 1 $$

より

$$ z\leqq 6 $$

である。$z$ は正の整数なので

$$ z=1,2,3,4,5,6 $$

だけを調べればよい。

ここで

$$ a=z+6 $$

とおくと、$a=7,8,9,10,11,12$ であり、等式は

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{a}{12} $$

となる。両辺に $12xy$ をかけると

$$ 12x+12y=axy $$

である。これを因数分解の形に変形する。

$$ \begin{aligned} axy&=12x+12y\\ a^2xy&=12ax+12ay\\ a^2xy-12ax-12ay+144&=144\\ (ax-12)(ay-12)&=144 \end{aligned} $$

$x\geqq y$ より

$$ ax-12\geqq ay-12 $$

である。

また $a\geqq 7,\ y\geqq 2$ だから

$$ ay-12\geqq 2 $$

であり、$ay-12$ と $ax-12$ は正の整数である。

よって、$144$ の正の約数の組 $(d,e)$ を

$$ d=ay-12,\quad e=ax-12,\quad d\leqq e $$

として調べればよい。$d e=144$ であるから、候補は

$$ (1,144),(2,72),(3,48),(4,36),(6,24),(8,18),(9,16),(12,12) $$

である。ただし

$$ y=\frac{d+12}{a},\quad x=\frac{e+12}{a} $$

がともに整数でなければならない。

各 $a$ について調べる。

(i)

$a=7$、すなわち $z=1$ のとき

$$ d+12,\ e+12 $$

がともに $7$ の倍数となるものを選ぶ。

候補の中で条件を満たすのは

$$ (d,e)=(2,72),(9,16) $$

である。

したがって

$$ (d,e)=(2,72) $$

のとき

$$ y=\frac{2+12}{7}=2,\quad x=\frac{72+12}{7}=12 $$

より

$$ (x,y,z)=(12,2,1) $$

である。

また

$$ (d,e)=(9,16) $$

のとき

$$ y=\frac{9+12}{7}=3,\quad x=\frac{16+12}{7}=4 $$

より

$$ (x,y,z)=(4,3,1) $$

である。

(ii)

$a=8$、すなわち $z=2$ のとき

条件を満たすのは

$$ (d,e)=(4,36),(12,12) $$

である。

$$ (d,e)=(4,36) $$

のとき

$$ y=\frac{4+12}{8}=2,\quad x=\frac{36+12}{8}=6 $$

より

$$ (x,y,z)=(6,2,2) $$

である。

$$ (d,e)=(12,12) $$

のとき

$$ y=\frac{12+12}{8}=3,\quad x=\frac{12+12}{8}=3 $$

より

$$ (x,y,z)=(3,3,2) $$

である。

(iii)

$a=9$、すなわち $z=3$ のとき

条件を満たすのは

$$ (d,e)=(6,24) $$

である。

したがって

$$ y=\frac{6+12}{9}=2,\quad x=\frac{24+12}{9}=4 $$

より

$$ (x,y,z)=(4,2,3) $$

である。

(iv)

$a=10$、すなわち $z=4$ のとき

条件を満たすのは

$$ (d,e)=(8,18) $$

である。

したがって

$$ y=\frac{8+12}{10}=2,\quad x=\frac{18+12}{10}=3 $$

より

$$ (x,y,z)=(3,2,4) $$

である。

(v)

$a=11$、すなわち $z=5$ のとき

候補の中に

$$ d+12,\ e+12 $$

がともに $11$ の倍数となるものはない。

したがって解はない。

(vi)

$a=12$、すなわち $z=6$ のとき

条件を満たすのは

$$ (d,e)=(12,12) $$

である。

したがって

$$ y=\frac{12+12}{12}=2,\quad x=\frac{12+12}{12}=2 $$

より

$$ (x,y,z)=(2,2,6) $$

である。

以上より、求める組は

$$ (12,2,1),\ (4,3,1),\ (6,2,2),\ (3,3,2),\ (4,2,3),\ (3,2,4),\ (2,2,6) $$

である。

解説

この問題では、まず $x\geqq y\geqq 2$ から左辺の最大値を押さえ、$z$ の範囲を有限個に絞ることが重要である。

その後、分数方程式をそのまま試すのではなく、

$$ (ax-12)(ay-12)=144 $$

という約数の問題に変換する。これにより、無限に見える正の整数解の探索が、$144$ の約数の組の確認だけで済む。

また、$x\geqq y$ という条件は

$$ ax-12\geqq ay-12 $$

に対応するため、約数の組は小さい方を $ay-12$、大きい方を $ax-12$ として調べればよい。

答え

$$ (x,y,z)=(12,2,1),\ (4,3,1),\ (6,2,2),\ (3,3,2),\ (4,2,3),\ (3,2,4),\ (2,2,6) $$