数学A 整数問題 問題 17 解説

方針・初手

$x<y<z$ より、逆数は

$$ \frac{1}{x}>\frac{1}{y}>\frac{1}{z} $$

となる。この大小関係を使って、まず $x$ の候補を絞り、次に $y$ を絞る。

解法1

$x<y<z$ であるから、$y>x,\ z>x$ より

$$ \frac{1}{y}<\frac{1}{x},\qquad \frac{1}{z}<\frac{1}{x} $$

である。したがって

$$ 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{3}{x} $$

となるので、

$$ x<3 $$

である。

また、$x=1$ とすると

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1 $$

となり、条件に反する。よって

$$ x=2 $$

である。

これを元の式に代入すると、

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 $$

より

$$ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2} $$

である。

次に、$2=x<y<z$ であるから $y>2$ である。また $z>y$ より

$$ \frac{1}{z}<\frac{1}{y} $$

なので、

$$ \frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{2}{y} $$

となる。したがって

$$ y<4 $$

である。

一方で $y>2$ だから、自然数 $y$ は

$$ y=3 $$

に限られる。

最後に、$y=3$ を

$$ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2} $$

に代入すると、

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2} $$

より

$$ \frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} $$

である。よって

$$ z=6 $$

である。

実際に

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $$

であり、$2<3<6$ も満たす。

解説

この問題では、分母の大小と逆数の大小が逆になることを使って、候補を絞るのが要点である。

$x<y<z$ ならば $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$ はこの順に小さくなる。そこで、まず全体を $\frac{3}{x}$ と比較して $x$ の範囲を決める。その後、同じ考えで $y$ の範囲を決めれば、候補が一意に定まる。

答え

$$ x=2,\qquad y=3,\qquad z=6 $$