数学A 整数問題 問題 18 解説

方針・初手

整数解を求める問題なので、式を因数分解できる形に変形する。 $xy$、$x$、$y$ の項があるので、積の形を作るために両辺を調整する。

解法1

与えられた方程式は

$$ 2xy-2x-5y=0 $$

である。$x$ についてまとめると

$$ 2x(y-1)=5y $$

となるが、このままでは整数条件を扱いにくい。そこで因数分解の形を作る。

両辺を $2$ 倍すると

$$ 4xy-4x-10y=0 $$

である。ここに $10$ を加えると

$$ 4xy-4x-10y+10=10 $$

となる。左辺は

$$ (2x-5)(2y-2) $$

と因数分解できるので、

$$ (2x-5)(2y-2)=10 $$

を得る。

ここで $x,y$ は整数であるから、$2x-5$ と $2y-2$ は整数であり、その積が $10$ である。

さらに、$2x-5$ は奇数である。したがって、$2x-5$ に入る可能性がある $10$ の約数は

$$ \pm 1,\ \pm 5 $$

である。

それぞれ調べる。

(i)

$2x-5=1$ のとき

$$ 2y-2=10 $$

より

$$ y=6 $$

である。

(ii)

$2x-5=5$ のとき

$$ 2y-2=2 $$

より

$$ y=2 $$

である。

(iii)

$2x-5=-1$ のとき

$$ 2y-2=-10 $$

より

$$ y=-4 $$

である。

(iv)

$2x-5=-5$ のとき

$$ 2y-2=-2 $$

より

$$ y=0 $$

である。

よって、条件を満たす整数の組は確かに $4$ 組あり、そのときの $y$ の値は

$$ -4,\ 0,\ 2,\ 6 $$

である。

解説

この問題では、$x$ について解くよりも、整数条件を使いやすい積の形に変形するのが重要である。

$$ 2xy-2x-5y=0 $$

から直接因数分解することはできないが、両辺を $2$ 倍して定数項 $10$ を補うと

$$ (2x-5)(2y-2)=10 $$

となる。あとは $10$ の約数の組を調べればよい。

注意点は、$2x-5$ が奇数であることである。そのため、$2x-5$ は $\pm 2,\pm 10$ にはならず、候補は $\pm 1,\pm 5$ に限られる。

答え

$$ y=-4,\ 0,\ 2,\ 6 $$