数学A 整数問題 問題 19 解説

方針・初手

各 $x_n$ は整数で $-1 \leqq x_n \leqq 2$ を満たすので、取り得る値は $-1,0,1,2$ の4種類だけである。

そこで、それぞれの個数を文字でおく。条件を個数の連立方程式に直すと、求める量もその個数で表せる。

解法1

$x_n=-1,0,1,2$ となる個数をそれぞれ $a,b,c,d$ とする。すなわち、

$$ \begin{aligned} a&=#{n\mid x_n=-1},\\ b&=#{n\mid x_n=0},\\ c&=#{n\mid x_n=1},\\ d&=#{n\mid x_n=2} \end{aligned} $$

とおく。

このとき、個数の合計より

$$ a+b+c+d=2000 $$

である。また、和と平方和の条件はそれぞれ

$$ -a+c+2d=19 $$

$$ a+c+4d=99 $$

となる。

ここで、平方和の式から和の式を引くと、

$$ (a+c+4d)-(-a+c+2d)=99-19 $$

より

$$ 2a+2d=80 $$

したがって、

$$ a+d=40 $$

である。よって

$$ a=40-d $$

と表せる。

和の条件

$$ -a+c+2d=19 $$

に $a=40-d$ を代入すると、

$$ -(40-d)+c+2d=19 $$

より

$$ c=59-3d $$

である。

また、個数はすべて $0$ 以上の整数でなければならない。特に

$$ a=40-d\geqq 0,\qquad c=59-3d\geqq 0 $$

であるから、

$$ d\leqq 40,\qquad d\leqq \frac{59}{3} $$

となる。$d$ は整数なので、

$$ 0\leqq d\leqq 19 $$

である。

次に、求める量を $a,b,c,d$ で表す。

$$ \sum_{n=1}^{2000}x_n^3=-a+c+8d $$

である。一方、

$$ -a+c+2d=19 $$

だから、

$$ -a+c+8d=19+6d $$

となる。

したがって、$\sum x_n^3$ を最大にするには、$d$ をできるだけ大きくすればよい。上で求めた範囲より最大は

$$ d=19 $$

である。

このとき、

$$ \sum_{n=1}^{2000}x_n^3=19+6\cdot 19=133 $$

となる。

実際に $d=19$ のとき、

$$ a=40-19=21 $$

$$ c=59-3\cdot 19=2 $$

であり、

$$ b=2000-a-c-d=2000-21-2-19=1958 $$

となる。すべて $0$ 以上の整数なので、この値は実現可能である。

解説

この問題では、$x_n$ を直接並べて考えるのではなく、$-1,0,1,2$ がそれぞれ何個あるかを数えるのが自然である。

平方和と和の差を取ると、$1$ と $0$ の個数が消え、$-1$ と $2$ の個数についての条件

$$ a+d=40 $$

が得られる。さらに、3乗和は

$$ -a+c+8d $$

であり、和の条件を使うと

$$ -a+c+8d=19+6d $$

と簡単になる。

つまり、3乗和の最大化は「$2$ の個数 $d$ を最大にする問題」に帰着される。最後に、個数が負にならない条件を確認することが必要である。

答え

$$ [エ]=133 $$