数学A 整数問題 問題 20 解説

方針・初手

整数を $3$ で割った余りに着目する。平方数を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ に限られるので、これを用いて順に示す。

特に （3） は、合同式で全ての変数が $3$ の倍数であることを示し、それを繰り返す無限降下法で結論を得る。

解法1

まず （1） を示す。

整数 $a$ が $3$ の倍数でないとき、$a$ を $3$ で割った余りは $1$ または $2$ である。したがって

$$ a \equiv 1,\ 2 \pmod{3} $$

のいずれかである。

このとき平方すると、

$$ 1^2 \equiv 1 \pmod{3}, \qquad 2^2=4 \equiv 1 \pmod{3} $$

であるから、どちらの場合も

$$ a^2 \equiv 1 \pmod{3} $$

となる。よって、$a^2$ を $3$ で割った余りは $1$ である。

次に （2） を示す。

$a^2-2b^2$ が $3$ の倍数であるとする。このとき

$$ a^2-2b^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

である。

まず $b$ が $3$ の倍数でないと仮定する。すると （1） より

$$ b^2 \equiv 1 \pmod{3} $$

であるから、

$$ a^2-2b^2 \equiv a^2-2 \pmod{3} $$

である。

一方、任意の整数の平方を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ なので、$a^2 \equiv 0,\ 1 \pmod{3}$ のいずれかである。したがって

$$ a^2-2 \equiv 1,\ 2 \pmod{3} $$

のいずれかであり、$0$ にはならない。

これは $a^2-2b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ に反する。よって $b$ は $3$ の倍数である。

$b$ が $3$ の倍数であるから、

$$ b^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

である。これを

$$ a^2-2b^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

に代入すると、

$$ a^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

となる。よって $a$ も $3$ の倍数である。

したがって、$a^2-2b^2$ が $3$ の倍数であるような整数 $a,b$ は、ともに $3$ の倍数である。

最後に （3） を示す。

整数 $a,b,c,d$ が

$$ a^2-2b^2+3c^2-6d^2=0 $$

を満たすとする。

この式を $3$ を法として見ると、$3c^2$ と $6d^2$ は $3$ の倍数であるから、

$$ a^2-2b^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

である。

よって （2） より、$a,b$ はともに $3$ の倍数である。そこで

$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1 $$

とおく。

元の式に代入すると、

$$ 9a_1^2-18b_1^2+3c^2-6d^2=0 $$

である。両辺を $3$ で割って、

$$ 3a_1^2-6b_1^2+c^2-2d^2=0 $$

を得る。

この式を $3$ を法として見ると、

$$ c^2-2d^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

である。したがって （2） より、$c,d$ もともに $3$ の倍数である。

以上より、$a,b,c,d$ はすべて $3$ の倍数である。

そこで

$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1,\qquad c=3c_1,\qquad d=3d_1 $$

とおくと、元の式は

$$ 9a_1^2-18b_1^2+27c_1^2-54d_1^2=0 $$

となる。両辺を $9$ で割れば、

$$ a_1^2-2b_1^2+3c_1^2-6d_1^2=0 $$

となる。

つまり、$(a,b,c,d)$ が解なら、全てを $3$ で割った $(a_1,b_1,c_1,d_1)$ も再び同じ形の整数解になる。

同じ議論を繰り返すと、$a,b,c,d$ は $3,3^2,3^3,\dots$ のすべてで割り切れることになる。

しかし、$0$ でない整数は十分大きい $n$ に対して $3^n$ で割り切れることはない。したがって

$$ a=b=c=d=0 $$

でなければならない。

実際、$a=b=c=d=0$ は

$$ 0^2-2\cdot 0^2+3\cdot 0^2-6\cdot 0^2=0 $$

を満たすので、これが唯一の解である。

解説

この問題の中心は、平方数の $3$ による剰余が $0$ または $1$ しかないという事実である。

（1） はその基本事実を直接示す部分であり、（2） はそれを使って $a^2-2b^2$ 型の式が $3$ の倍数になる条件を絞る部分である。

（3） では、まず合同式によって $a,b$ が $3$ の倍数であることを示し、次に式を割り直して $c,d$ も $3$ の倍数であることを示す。その結果、全ての変数が $3$ で割れるだけでなく、割った後も同じ形の方程式を満たす。

したがって同じ議論を無限に繰り返すことができる。これは無限降下法であり、非零整数が任意に高い $3$ の累乗で割り切れることはないため、全て $0$ であると結論できる。

答え

(1)

整数 $a$ が $3$ の倍数でなければ、

$$ a^2 \equiv 1 \pmod{3} $$

である。したがって、$a^2$ を $3$ で割った余りは $1$ である。

(2)

$a^2-2b^2$ が $3$ の倍数であるならば、

$$ a \equiv b \equiv 0 \pmod{3} $$

である。したがって、$a,b$ はともに $3$ の倍数である。

(3)

$$ a^2-2b^2+3c^2-6d^2=0 $$

を満たす整数 $a,b,c,d$ は

$$ a=b=c=d=0 $$

のみである。