数学A 整数問題 問題 31 解説

方針・初手

$n+S(n)$ の値が与えられているので、まず $n$ の桁数を絞る。桁数が決まれば、$n$ を各桁の数字で表し、$S(n)$ をその和として方程式に直す。

解法1

(1)

$n+S(n)=100$ より、$S(n)\geqq 1$ だから

$$ n\leqq 99 $$

である。したがって、$n$ は高々2桁である。

$n=10a+b$ とおく。ただし $a,b$ は整数で、

$$ 0\leqq a\leqq 9,\qquad 0\leqq b\leqq 9 $$

である。このとき

$$ S(n)=a+b $$

だから、

$$ n+S(n)=10a+b+a+b=11a+2b $$

である。よって

$$ 11a+2b=100 $$

を満たす数字 $a,b$ を求めればよい。

この式を $11$ で考えると、

$$ 2b\equiv 100 \pmod{11} $$

である。$100\equiv 1\pmod{11}$ だから、

$$ 2b\equiv 1\pmod{11} $$

となる。$0\leqq b\leqq 9$ の範囲でこれを満たすのは

$$ b=6 $$

である。

これを $11a+2b=100$ に代入すると、

$$ 11a+12=100 $$

より、

$$ a=8 $$

である。したがって

$$ n=86 $$

である。

実際、

$$ 86+S(86)=86+(8+6)=100 $$

となるので、条件を満たす。

(2)

$n+S(n)=1988$ より、$S(n)\geqq 1$ だから

$$ n\leqq 1987 $$

である。

一方、$n\leqq 999$ ならば $S(n)\leqq 27$ なので、

$$ n+S(n)\leqq 999+27=1026 $$

となり、$1988$ にはならない。したがって、$n$ は4桁の数である。

$n=1000a+100b+10c+d$ とおく。ただし $a,b,c,d$ は数字で、

$$ 1\leqq a\leqq 9,\qquad 0\leqq b,c,d\leqq 9 $$

である。

さらに $n\leqq 1987$ なので、千の位は

$$ a=1 $$

である。よって

$$ n=1000+100b+10c+d $$

であり、

$$ S(n)=1+b+c+d $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} n+S(n) &=(1000+100b+10c+d)+(1+b+c+d)\\ &=1001+101b+11c+2d \end{aligned} $$

である。これが $1988$ に等しいから、

$$ 1001+101b+11c+2d=1988 $$

すなわち

$$ 101b+11c+2d=987 $$

である。

ここで、もし $b\leqq 8$ ならば、

$$ 101b+11c+2d\leqq 101\cdot 8+11\cdot 9+2\cdot 9=925 $$

となり、$987$ に届かない。よって

$$ b=9 $$

である。

これを代入すると、

$$ 101\cdot 9+11c+2d=987 $$

より、

$$ 11c+2d=78 $$

となる。

$d$ は $0\leqq d\leqq 9$ を満たすので、$2d$ は $0$ 以上 $18$ 以下である。したがって

$$ 78-18\leqq 11c\leqq 78 $$

より、

$$ 60\leqq 11c\leqq 78 $$

である。これを満たす数字 $c$ は $c=6,7$ である。

それぞれ調べると、$c=6$ のとき

$$ 2d=78-66=12 $$

より

$$ d=6 $$

である。

$c=7$ のとき

$$ 2d=78-77=1 $$

となり、$d$ は整数にならない。したがって不適である。

よって

$$ a=1,\qquad b=9,\qquad c=6,\qquad d=6 $$

となり、

$$ n=1966 $$

である。

実際、

$$ 1966+S(1966)=1966+(1+9+6+6)=1988 $$

となるので、条件を満たす。

解説

この問題では、$S(n)$ が各桁の和であることから、まず $n$ の桁数を制限するのが重要である。桁数が決まれば、各桁を文字で置くことで、条件は数字 $0$ から $9$ に関する一次方程式になる。

特に （2） では、いきなり全ての4桁の数を調べるのではなく、$n\leqq 1987$ から千の位が $1$ に決まり、さらに式の大きさから百の位が $9$ に絞れる。このように、桁ごとの最大値を使って候補を減らすことが有効である。

答え

(1)

$$ n=86 $$

(2)

$$ n=1966 $$