数学A 整数問題 問題 36 解説

方針・初手

(1) は有理数を既約分数で表し、分母が消える条件を調べる。

(2) は平方数の $4$ で割った余りが $0$ または $1$ であることを使う。

(3) は与式を $4$ 倍して、(1) と (2) に帰着する。

解法1

(1)

$x$ は有理数なので、互いに素な整数 $m,n$ を用いて

$$ x=\frac{m}{n}\quad (n>0,\ \gcd(m,n)=1) $$

と表せる。

$7x^2$ が整数であるから、

$$ 7x^2=\frac{7m^2}{n^2} $$

が整数である。よって

$$ n^2 \mid 7m^2 $$

である。

ここで $\gcd(m,n)=1$ だから、$\gcd(m^2,n^2)=1$ である。したがって、$n^2$ は $7$ を割り切る。

$7$ は素数であり、正の平方数で $7$ を割り切るものは $1$ だけであるから、

$$ n^2=1 $$

である。よって $n=1$ となり、$x=m$ は整数である。

したがって、$7x^2$ が整数ならば、$x$ は整数である。

(2)

任意の整数 $u$ について、$u^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

$a^2-7b^2$ が $4$ の倍数であるから、

$$ a^2-7b^2\equiv 0 \pmod{4} $$

である。ここで $7\equiv 3\pmod{4}$ より、

$$ a^2-3b^2\equiv 0 \pmod{4} $$

である。

まず $b$ が奇数であると仮定する。このとき

$$ b^2\equiv 1 \pmod{4} $$

であるから、

$$ a^2-3\equiv 0 \pmod{4} $$

すなわち

$$ a^2\equiv 3 \pmod{4} $$

となる。しかし、平方数の $4$ で割った余りは $0$ または $1$ であるから、これは不可能である。

よって $b$ は偶数である。

$b$ が偶数なので、

$$ b^2\equiv 0 \pmod{4} $$

である。これを $a^2-7b^2\equiv 0\pmod{4}$ に代入すると、

$$ a^2\equiv 0 \pmod{4} $$

となる。したがって $a$ も偶数である。

よって、$a$ と $b$ はともに偶数である。

(3)

条件より、

$$ \left(\frac{r}{2}\right)^2-7s^2 $$

は整数である。これを $4$ 倍すると、

$$ r^2-28s^2 $$

は $4$ の倍数である。

ここで

$$ r^2-28s^2=r^2-7(2s)^2 $$

と書ける。$r$ は整数であるから、$r^2$ も整数である。また、$r^2-7(2s)^2$ は整数であるので、

$$ 7(2s)^2 $$

も整数である。

$2s$ は有理数であるから、(1) より

$$ 2s $$

は整数である。

ここで、$a=r,\ b=2s$ とおくと、$a,b$ は整数であり、

$$ a^2-7b^2=r^2-7(2s)^2 $$

は $4$ の倍数である。したがって (2) より、$a$ と $b$ はともに偶数である。

特に $b=2s$ は偶数であるから、ある整数 $k$ を用いて

$$ 2s=2k $$

と書ける。よって

$$ s=k $$

となり、$s$ は整数である。

解説

(1) は「有理数の平方に素数を掛けて整数になるなら、分母は消えなければならない」という処理である。既約分数で書いたとき、分母 $n^2$ は分子 $m^2$ と互いに素なので、$n^2$ は $7$ だけを割り切る必要がある。ここから $n=1$ が従う。

(2) は合同式の基本である。平方数の $4$ で割った余りは $0,1$ のみであり、$3$ にはならない。この事実から、まず $b$ が奇数である場合を排除し、その後 $a$ も偶数であることを示す。

(3) はそのままでは $\frac{r}{2}$ が整数とは限らないため、まず式全体を $4$ 倍するのが自然である。すると

$$ r^2-7(2s)^2 $$

という形になり、(1) によって $2s$ が整数であること、さらに (2) によって $2s$ が偶数であることが分かる。最後に $2s$ が偶数なら $s$ は整数である。

答え

(1)

$x$ は整数である。

(2)

$a$ と $b$ はともに偶数である。

(3)

$s$ は整数である。