数学A 整数問題 問題 50 解説

方針・初手

条件 $1\leqq a\leqq b\leqq c$ と $abc=a+b+c$ から、$c$ で割って $ab$ を評価する。特に $c\geqq b$ を使うと、$ab$ の上限がすぐに出る。

解法1

まず $abc=a+b+c$ の両辺を $c$ で割ると、

$$ ab=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a+b}{c} $$

である。

ここで $c\geqq b$ であり、$a,b,c$ は正の整数だから、

$$ \frac{a+b}{c}\leqq \frac{a+b}{b} $$

が成り立つ。よって

$$ ab =1+\frac{a+b}{c} \leqq 1+\frac{a+b}{b} =1+\frac{a}{b}+1 =2+\frac{a}{b} $$

である。

また $a\leqq b$ より、

$$ \frac{a}{b}\leqq 1 $$

だから、

$$ ab\leqq 3 $$

となる。これで （1） が示された。

次に （2） を解く。（1） より $ab\leqq 3$ であり、$1\leqq a\leqq b$ だから、可能な $(a,b)$ は

$$ (a,b)=(1,1),(1,2),(1,3) $$

に限られる。

元の式を

$$ abc=a+b+c $$

から

$$ c(ab-1)=a+b $$

と変形して、各場合を調べる。

(i)

$(a,b)=(1,1)$ のとき

$$ c(1\cdot 1-1)=1+1 $$

より、

$$ 0=2 $$

となり不適である。

(ii)

$(a,b)=(1,2)$ のとき

$$ c(1\cdot 2-1)=1+2 $$

より、

$$ c=3 $$

である。このとき $1\leqq 1\leqq 2\leqq 3$ を満たし、

$$ 1\cdot 2\cdot 3=6,\qquad 1+2+3=6 $$

なので適する。

(iii)

$(a,b)=(1,3)$ のとき

$$ c(1\cdot 3-1)=1+3 $$

より、

$$ 2c=4 $$

だから、

$$ c=2 $$

である。しかしこれは $b\leqq c$、すなわち $3\leqq 2$ に反するので不適である。

したがって、求める整数の組は

$$ (a,b,c)=(1,2,3) $$

のみである。

解説

この問題の要点は、$abc=a+b+c$ をそのまま総当たりしないことである。

$c$ で割ると

$$ ab=1+\frac{a+b}{c} $$

となり、さらに $c\geqq b$ を使うことで $ab$ を上から抑えられる。ここで $a\leqq b$ も合わせて使うと $ab\leqq 3$ が出るため、あとは $(a,b)$ の候補が有限個に絞られる。

整数問題では、まず積や和の条件から一部の変数を評価し、候補を有限個まで減らすのが基本である。

答え

(1)

$$ ab\leqq 3 $$

(2)

$$ (a,b,c)=(1,2,3) $$