数学A 整数問題 問題 51 解説

方針・初手

5円切手を1枚追加すると金額は5円増える。したがって、連続する5個の金額 $20,21,22,23,24$ 円が作れれば、それ以後の金額は5円ずつ増やして作れる。

解法1

任意の20円以上の整数 $n$ について、$n$ 円分を5円切手と6円切手で作れることを示す。

まず、$20$ 円から $24$ 円までは次のように作れる。

$$ \begin{aligned} 20&=5\cdot 4,\\ 21&=5\cdot 3+6\cdot 1,\\ 22&=5\cdot 2+6\cdot 2,\\ 23&=5\cdot 1+6\cdot 3,\\ 24&=6\cdot 4. \end{aligned} $$

よって、$20,21,22,23,24$ 円分はすべて5円切手と6円切手の組み合わせで買える。

次に、ある金額 $k$ 円分が5円切手と6円切手で買えるとする。このとき、その組み合わせに5円切手を1枚追加すれば、

$$ k+5 $$

円分も5円切手と6円切手で買える。

したがって、$20,21,22,23,24$ 円から出発して、それぞれに5円ずつ加えていけば、

$$ 20,25,30,\dots $$

$$ 21,26,31,\dots $$

$$ 22,27,32,\dots $$

$$ 23,28,33,\dots $$

$$ 24,29,34,\dots $$

のすべてが作れる。

20円以上の整数は、5で割った余りに応じて、上のいずれかの列に必ず含まれる。よって、20円以上の任意の値段分の切手は、5円切手と6円切手の組み合わせとして買える。

解法2

20円以上の整数を $n$ とする。

$6\equiv 1\pmod{5}$ であるから、6円切手の枚数を $0,1,2,3,4$ 枚の中から選ぶことで、金額の5で割った余りを自由に調整できる。

実際、$n$ を5で割った余りに応じて、6円切手の枚数を次のように選ぶ。

$$ \begin{array}{c|c} n \text{ を } 5 \text{ で割った余り} & 6\text{円切手の枚数} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{array} $$

このとき、6円切手の枚数を $r$ 枚とすれば、$r$ は $n$ を5で割った余りに等しいので、

$$ n-6r\equiv n-r\equiv 0\pmod{5} $$

である。したがって、$n-6r$ は5の倍数である。

また、$n\geqq 20$ かつ $0\leqq r\leqq 4$ であるから、

$$ n-6r\geqq 20-24=-4 $$

である。ただし、$r$ は $n$ の5で割った余りなので、$n-6r$ は5の倍数である。さらに $n=20,21,22,23,24$ の場合には、それぞれ

$$ 20-0,\quad 21-6,\quad 22-12,\quad 23-18,\quad 24-24 $$

となり、いずれも0以上である。

$n\geqq 25$ の場合は、

$$ n-6r\geqq 25-24=1 $$

であり、これは5の倍数だから、実際には

$$ n-6r\geqq 5 $$

である。

よって、すべての場合で $n-6r$ は0以上の5の倍数である。したがって、ある0以上の整数 $s$ を用いて

$$ n-6r=5s $$

と書ける。

ゆえに

$$ n=5s+6r $$

となるので、$n$ 円分は5円切手 $s$ 枚と6円切手 $r$ 枚の組み合わせで買える。

解説

この問題は、5円と6円という互いに素な2種類の金額で、十分大きい整数がすべて表せることを示す典型問題である。

最も自然なのは解法1である。連続する5個の金額を作っておけば、あとは5円切手を足すだけで全体を覆える。ここでは $20$ 円から $24$ 円までが作れることを確認するのが初手である。

解法2は合同式を使う方法である。$6\equiv 1\pmod{5}$ を利用し、6円切手の枚数で5で割った余りを調整する。余りを合わせたあと、残りが5円切手で埋められることを確認するのが要点である。

答え

20円以上の任意の整数 $n$ について、0以上の整数 $x,y$ が存在して

$$ n=5x+6y $$

と表せる。したがって、20円以上の任意の値段分の切手は、5円切手と6円切手の組み合わせとして買える。