数学A 整数問題 問題 52 解説

方針・初手

各因数 $1+\dfrac{1}{n}$ は $n$ が大きいほど小さくなる。したがって、$x<y$ や $x<y<z$ の条件から、まず $x$ の候補を不等式で絞る。

その後、残った小さい候補を直接代入して求めればよい。

解法1

(1)

$x<y$ より $y\geqq x+1$ である。また、$1+\dfrac{1}{n}$ は $n$ が大きいほど小さくなる。

もし $x\geqq 4$ なら、$y\geqq 5$ であるから、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right) \leqq \left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right) &= \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5} \\ \frac{3}{2} \end{aligned} $$

となる。ところが

$$ \frac{3}{2}<\frac{5}{3} $$

なので、条件を満たさない。したがって $x=2,3$ に限られる。

(i)

$x=2$ のとき

$$ \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3} $$

より、

$$ \frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3} $$

である。よって

$$ 1+\frac{1}{y}=\frac{10}{9} $$

だから、

$$ \frac{1}{y}=\frac{1}{9} $$

となり、$y=9$ である。

(ii)

$x=3$ のとき

$$ \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3} $$

より、

$$ \frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3} $$

である。よって

$$ 1+\frac{1}{y}=\frac{5}{4} $$

だから、

$$ \frac{1}{y}=\frac{1}{4} $$

となり、$y=4$ である。

したがって、(1) の解は

$$ (x,y)=(2,9),(3,4) $$

である。

(2)

$x<y<z$ より $y\geqq x+1,\ z\geqq x+2$ である。

もし $x\geqq 3$ なら、$y\geqq 4,\ z\geqq 5$ であるから、

$$ \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right) \leqq \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right) $$

となる。右辺を計算すると、

$$ \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5}=2 $$

である。ところが

$$ 2<\frac{12}{5} $$

なので、条件を満たさない。したがって $x=2$ である。

$x=2$ を代入すると、

$$ \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{12}{5} $$

より、

$$ \frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{12}{5} $$

である。したがって、

$$ \left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{8}{5} $$

となる。

ここで $2<y<z$ より $y\geqq 3$ である。

もし $y\geqq 4$ なら、$z\geqq 5$ であるから、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right) \leqq \left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right) &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

となる。しかし、

$$ \frac{3}{2}<\frac{8}{5} $$

なので、これは不可能である。よって $y=3$ である。

$y=3$ を代入すると、

$$ \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{8}{5} $$

より、

$$ \frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{8}{5} $$

である。したがって、

$$ 1+\frac{1}{z}=\frac{6}{5} $$

となるから、

$$ \frac{1}{z}=\frac{1}{5} $$

である。よって $z=5$ である。

したがって、(2) の解は

$$ (x,y,z)=(2,3,5) $$

である。

解説

この問題では、式を展開して不定方程式として処理するよりも、$1+\dfrac{1}{n}$ が $n$ の増加とともに小さくなることを使って候補を絞るのが自然である。

特に、$x<y$ なら $y\geqq x+1$、$x<y<z$ なら $y\geqq x+1,\ z\geqq x+2$ である。これにより、$x$ が大きすぎる場合は積の最大値が目標値に届かないことが分かる。

候補を十分に絞った後は、代入して $y,z$ を順に決めればよい。

答え

(1)

$$ (x,y)=(2,9),(3,4) $$

(2)

$$ (x,y,z)=(2,3,5) $$