数学A 整数問題 問題 80 解説

方針・初手

$\sqrt7$ に非常に近い有理数 $\frac ab$ を扱う問題である。直接 $\frac ab$ を探すのではなく、まず $\left|\frac ab+\sqrt7\right|$ を上から押さえ、その後

$$ \left|\frac ab-\sqrt7\right|\left|\frac ab+\sqrt7\right| $$

を用いて、整数 $\left|a^2-7b^2\right|$ に持ち込む。

解法1

不等式(A)は

$$ \left|\frac ab-\sqrt7\right|<\frac{2}{b^4} $$

である。

まず (1) を示す。$b\geqq 2$ より

$$ \frac{2}{b^4}\leqq \frac{2}{2^4}=\frac18 $$

であるから、不等式(A)より

$$ \frac ab<\sqrt7+\frac{2}{b^4}\leqq \sqrt7+\frac18 $$

である。ここで $\sqrt7<2.646$ を用いると、

$$ \frac ab<2.646+\frac18=2.771<3 $$

となる。

$a,b$ は自然数なので $\frac ab+\sqrt7>0$ である。したがって

$$ \left|\frac ab+\sqrt7\right| =\frac ab+\sqrt7 <3+2.646 =5.646<6 $$

である。よって

$$ \left|\frac ab+\sqrt7\right|<6 $$

が示された。

次に (2) を求める。不等式(A)と (1) より、

$$ \begin{aligned} \left|a^2-7b^2\right| &=b^2\left|\left(\frac ab\right)^2-7\right|\\ &=b^2\left|\frac ab-\sqrt7\right|\left|\frac ab+\sqrt7\right|\\ &<b^2\cdot \frac{2}{b^4}\cdot 6\\ &=\frac{12}{b^2} \end{aligned} $$

である。

また、$\sqrt7$ は無理数であるから、$a^2-7b^2=0$ とはならない。実際、もし $a^2=7b^2$ ならば $\frac ab=\sqrt7$ となり、$\sqrt7$ が有理数になってしまう。

したがって $\left|a^2-7b^2\right|$ は正の整数である。よって

$$ 1\leqq \left|a^2-7b^2\right|<\frac{12}{b^2} $$

となるから、

$$ b^2<12 $$

である。$b\geqq 2$ より、調べるべき $b$ は

$$ b=2,\ 3 $$

に限られる。

(i)

$b=2$ のとき

不等式(A)は

$$ \left|\frac a2-\sqrt7\right|<\frac18 $$

である。したがって

$$ \sqrt7-\frac18<\frac a2<\sqrt7+\frac18 $$

より、

$$ 2\left(\sqrt7-\frac18\right)<a<2\left(\sqrt7+\frac18\right) $$

である。$2.645<\sqrt7<2.646$ を用いると、

$$ 2\left(2.645-\frac18\right)<a<2\left(2.646+\frac18\right) $$

を満たす必要があるので、

$$ 5.04<a<5.542 $$

となる。この範囲に自然数 $a$ は存在しない。

よって $b=2$ の解はない。

(ii)

$b=3$ のとき

不等式(A)は

$$ \left|\frac a3-\sqrt7\right|<\frac{2}{81} $$

である。したがって

$$ \sqrt7-\frac{2}{81}<\frac a3<\sqrt7+\frac{2}{81} $$

より、

$$ 3\left(\sqrt7-\frac{2}{81}\right)<a<3\left(\sqrt7+\frac{2}{81}\right) $$

である。

$2.645<\sqrt7<2.646$ を用いると、

$$ 3\left(2.645-\frac{2}{81}\right)<a<3\left(2.646+\frac{2}{81}\right) $$

を満たす必要がある。ここで

$$ 3\left(2.645-\frac{2}{81}\right)>7,\qquad 3\left(2.646+\frac{2}{81}\right)<9 $$

であるから、

$$ 7<a<9 $$

となる。よって自然数 $a$ の候補は

$$ a=8 $$

のみである。

最後に、$(a,b)=(8,3)$ が実際に不等式(A)を満たすことを確認する。$\sqrt7<2.646<\frac83$ より、

$$ \left|\frac83-\sqrt7\right|=\frac83-\sqrt7 $$

である。また、$2.645<\sqrt7$ より

$$ \frac83-\sqrt7<\frac83-2.645=\frac{13}{600} $$

である。さらに

$$ \frac{13}{600}<\frac{2}{81} $$

であるから、

$$ \left|\frac83-\sqrt7\right|<\frac{2}{81} $$

となる。これは $b=3$ のときの不等式(A)そのものである。

したがって、条件を満たす組は

$$ (a,b)=(8,3) $$

のみである。

解説

この問題の要点は、不等式(A)をそのまま調べるのではなく、共役な量 $\frac ab+\sqrt7$ を掛けて

$$ a^2-7b^2 $$

という整数に変換することである。

$\sqrt7$ が無理数であるため、$a^2-7b^2$ は $0$ にならない。したがって、その絶対値は正の整数であり、少なくとも $1$ である。この整数条件によって $b$ の範囲が一気に $b=2,3$ に絞られる。

(1) は単なる補題ではなく、(2) で整数 $\left|a^2-7b^2\right|$ を上から評価するために必要な準備である。

答え

(1)

$$ \left|\frac ab+\sqrt7\right|<6 $$

が成り立つ。

(2)

$$ (a,b)=(8,3) $$