数学A 整数問題 問題 81 解説

方針・初手

平方根が自然数になる条件は、平方根全体を新しい自然数でおいて平方数条件に直すのが基本である。

$\sqrt{4n^2+165}$ が自然数であるとして、これを $m$ とおく。すると

$$ m^2=4n^2+165 $$

であり、差の平方の形に整理できる。

解法1

$\sqrt{4n^2+165}=m$ とおく。ただし $m$ は自然数である。

このとき

$$ m^2-4n^2=165 $$

より、

$$ (m-2n)(m+2n)=165 $$

となる。

$n$ は自然数なので $m+2n>m-2n>0$ である。また、$m-2n$ と $m+2n$ はどちらも整数であり、積が $165$ である。

$165$ の正の約数の組を考えると、

$$ 165=1\cdot 165=3\cdot 55=5\cdot 33=11\cdot 15 $$

である。

ここで

$$ m-2n=a,\quad m+2n=b $$

とおくと、

$$ b-a=4n $$

である。したがって、各約数の組について $b-a$ が $4$ の倍数であればよい。

それぞれ調べると、

$$ \begin{aligned} (1,165)&:\quad n=\frac{165-1}{4}=41,\\ (3,55)&:\quad n=\frac{55-3}{4}=13,\\ (5,33)&:\quad n=\frac{33-5}{4}=7,\\ (11,15)&:\quad n=\frac{15-11}{4}=1. \end{aligned} $$

いずれも自然数であるから、条件を満たす $n$ は

$$ n=1,7,13,41 $$

の $4$ 個である。

したがって、そのうち最大のものは

$$ 41 $$

である。

解説

平方根が自然数になる問題では、まず平方根全体を整数 $m$ とおくのが有効である。

今回の式は

$$ m^2-(2n)^2=165 $$

と差の平方に変形できるため、因数分解して約数の組を調べればよい。

注意点は、$(m-2n)(m+2n)=165$ としたあと、単に約数の組を列挙するだけでなく、

$$ n=\frac{(m+2n)-(m-2n)}{4} $$

が自然数になることを確認する点である。

答え

$$ \boxed{\text{オ}=4} $$

$$ \boxed{\text{カ}=41} $$