トップ› 基礎問題› 数学A› 整数問題› 整数問題› 問題 87

数学A 整数問題問題 87 解説

方針・初手

素因数 $3$ の個数は、各数に含まれる $3$ の指数を合計すればよい。

階乗 $n!$ では、$3$ の倍数が少なくとも $1$ 個の $3$ を、$9$ の倍数がさらにもう $1$ 個の $3$ を、$27$ の倍数がさらにもう $1$ 個の $3$ を含むので、

$$ \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{9} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{27} \right\rfloor+\cdots $$

で数えられる。

解法1

まず、$1000!$ に含まれる素因数 $3$ の個数を求める。

$3^6=729 \leqq 1000$、$3^7=2187>1000$ であるから、

$$ \begin{aligned} v_3(1000!) &= \left\lfloor \frac{1000}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{243} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{729} \right\rfloor \\ &=333+111+37+12+4+1 \\ &=498 \end{aligned} $$

したがって、$1000!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $498$ 個である。

次に、$1000!!$ を考える。$1000!!$ は偶数だけの積なので、

$$ 1000!!=1000\cdot 998\cdot 996\cdots 2 $$

である。各項から $2$ をくくると、

$$ 1000!!=2^{500}(500\cdot 499\cdot 498\cdots 1)=2^{500}\cdot 500! $$

となる。$2^{500}$ は素因数 $3$ を含まないから、$1000!!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $500!$ に含まれる素因数 $3$ の個数に等しい。

よって、

$$ \begin{aligned} v_3(1000!!) &=v_3(500!) \\ &= \left\lfloor \frac{500}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{243} \right\rfloor \\ &=166+55+18+6+2 \\ &=247 \end{aligned} $$

したがって、$1000!!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $247$ 個である。

最後に、$999!!$ を考える。$999!!$ は奇数だけの積なので、

$$ 999!!=999\cdot 997\cdot 995\cdots 1 $$

である。

また、

$$ 999!=(999\cdot 997\cdot 995\cdots 1)(998\cdot 996\cdot 994\cdots 2) $$

だから、

$$ 999!=999!!\cdot 998!! $$

である。ここで、

$$ 998!!=998\cdot 996\cdot 994\cdots 2=2^{499}\cdot 499! $$

であるから、

$$ 999!=999!!\cdot 2^{499}\cdot 499! $$

となる。

$2^{499}$ は素因数 $3$ を含まないので、

$$ v_3(999!!)=v_3(999!)-v_3(499!) $$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} v_3(999!) &= \left\lfloor \frac{999}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{243} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{729} \right\rfloor \\ &=333+111+37+12+4+1 \\ &=498 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} v_3(499!) &= \left\lfloor \frac{499}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{243} \right\rfloor \\ &=166+55+18+6+2 \\ &=247 \end{aligned} $$

したがって、

$$ v_3(999!!)=498-247=251 $$

である。