数学A 整数問題 問題 89 解説

方針・初手

いずれも式を因数分解し、積が素数になる条件を使う。整数 $a,b$ について、$ab$ が正の素数なら、一方が $1$ で他方が素数でなければならない。

解法1

(1)

$$ n^2-1=(n-1)(n+1) $$

である。

$n$ は自然数なので、$n+1>n-1$ である。$n^2-1$ が素数になるには、因数の一方が $1$ でなければならない。

$n+1=1$ は自然数 $n$ では成り立たない。したがって

$$ n-1=1 $$

より

$$ n=2 $$

である。

このとき

$$ n^2-1=2^2-1=3 $$

となり、確かに素数である。

よって、求める自然数は

$$ n=2 $$

である。

(2)

与えられた式を因数分解すると、

$$ 3m^2+mn-2n^2=(3m-2n)(m+n) $$

である。

条件 $0\leqq n\leqq m$ より、

$$ 3m-2n\geqq m\geqq 0,\qquad m+n\geqq 0 $$

である。

$(m,n)=(0,0)$ のとき値は $0$ であり、素数ではない。したがって、素数になる場合には、2つの因数は正の整数であり、一方が $1$ でなければならない。

(i) $m+n=1$ のとき

$0\leqq n\leqq m$ を満たす非負整数解は

$$ (m,n)=(1,0) $$

のみである。

このとき

$$ 3m^2+mn-2n^2=3 $$

であり、素数である。

(ii) $3m-2n=1$ のとき

$$ 3m-2n=1 $$

より

$$ n=\frac{3m-1}{2} $$

である。

さらに $n\leqq m$ より

$$ \frac{3m-1}{2}\leqq m $$

だから、

$$ m\leqq 1 $$

である。

$m$ は非負整数なので $m=0,1$ を調べる。$m=0$ では $n=-\frac12$ となり不適である。$m=1$ では $n=1$ である。

よって

$$ (m,n)=(1,1) $$

を得る。

このとき

$$ 3m^2+mn-2n^2=3+1-2=2 $$

であり、素数である。

以上より、求める組は

$$ (m,n)=(1,0),(1,1) $$

である。

(3)

与えられた式を因数分解する。

$$ \begin{aligned} & m^4-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16 \\ &= (m^2+n^2+2)(m^2-4n^2-8) \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ m^2+n^2+2\geqq 2 $$

である。

したがって、積が正の素数になるためには、もう一方の因数が $1$ でなければならない。すなわち、

$$ m^2-4n^2-8=1 $$

である。

これを整理すると、

$$ m^2-4n^2=9 $$

すなわち

$$ (m-2n)(m+2n)=9 $$

である。

$m,n$ は $0$ 以上の整数なので、

$$ m+2n\geqq 0 $$

である。また積が $9$ で正だから、両方の因数は正である。

さらに

$$ m-2n\leqq m+2n $$

であるから、正の因数の組は

$$ (m-2n,\ m+2n)=(1,9),(3,3) $$

の2通りである。

(i) $(m-2n,\ m+2n)=(1,9)$ のとき

$$ \begin{cases} m-2n=1\\ m+2n=9 \end{cases} $$

より、

$$ 2m=10 $$

だから

$$ m=5 $$

である。これを $m-2n=1$ に代入して、

$$ 5-2n=1 $$

より

$$ n=2 $$

である。

このとき

$$ m^2+n^2+2=25+4+2=31 $$

であり、素数である。

したがって

$$ (m,n)=(5,2) $$

は適する。

(ii) $(m-2n,\ m+2n)=(3,3)$ のとき

$$ \begin{cases} m-2n=3\\ m+2n=3 \end{cases} $$

より、

$$ 4n=0 $$

だから

$$ n=0 $$

である。したがって

$$ m=3 $$

である。

このとき

$$ m^2+n^2+2=9+0+2=11 $$

であり、素数である。

したがって

$$ (m,n)=(3,0) $$

は適する。

以上より、求める組は

$$ (m,n)=(3,0),(5,2) $$

である。

解説

この問題の中心は、素数そのものを直接調べるのではなく、式を積の形に分解することである。

（1） は

$$ n^2-1=(n-1)(n+1) $$

という基本因数分解を使えば、一方の因数が $1$ になる場合だけを調べればよい。

（2） は

$$ 3m^2+mn-2n^2=(3m-2n)(m+n) $$

と因数分解できることが重要である。条件 $0\leqq n\leqq m$ により、両因数が非負になるため、積が素数になる条件をそのまま使える。

（3） は一見複雑だが、$m^2$ と $n^2$ をひとかたまりとして見れば、

$$ (m^2+n^2+2)(m^2-4n^2-8) $$

と分解できる。第1因数は常に $2$ 以上なので、第2因数が $1$ になる必要がある。そこから差の平方の形にして、

$$ (m-2n)(m+2n)=9 $$

を解けばよい。

答え

(1)

$$ n=2 $$

(2)

$$ (m,n)=(1,0),(1,1) $$

(3)

$$ (m,n)=(3,0),(5,2) $$