数学A 整数問題 問題 90 解説

方針・初手

$a+b\sqrt{5}$ 型の数では、有理数部分と $\sqrt{5}$ の係数部分を分けて考える。核心は、$\sqrt{5}$ が無理数であるため、有理数 $x,y$ に対して

$$ x+y\sqrt{5}=0 $$

ならば $x=y=0$ となることである。

解法1

まず （1） を示す。

$a,b$ は有理数であり、

$$ a+b\sqrt{5}=0 $$

とする。

もし $b\ne 0$ ならば、

$$ \sqrt{5}=-\frac{a}{b} $$

となる。右辺は有理数であるから、$\sqrt{5}$ が有理数になってしまう。これは $\sqrt{5}$ が無理数であることに反する。

したがって $b=0$ である。このとき

$$ a+b\sqrt{5}=0 $$

より $a=0$ も従う。

よって、

$$ a=b=0 $$

である。

次に （2） を解く。

$c+d\sqrt{5}$ が $a+b\sqrt{5}$ の逆数であるから、

$$ (a+b\sqrt{5})(c+d\sqrt{5})=1 $$

である。左辺を展開すると、

$$ (a+b\sqrt{5})(c+d\sqrt{5}) =ac+5bd+(ad+bc)\sqrt{5} $$

であるから、

$$ ac+5bd+(ad+bc)\sqrt{5}=1 $$

すなわち

$$ (ac+5bd-1)+(ad+bc)\sqrt{5}=0 $$

となる。

ここで $ac+5bd-1$ と $ad+bc$ は有理数であるから、（1） より

$$ \begin{cases} ac+5bd-1=0,\\ ad+bc=0 \end{cases} $$

である。つまり

$$ \begin{cases} ac+5bd=1,\\ bc+ad=0 \end{cases} $$

を得る。

これを $c,d$ について解く。第1式に $a$、第2式に $-5b$ をかけて加えると、

$$ a(ac+5bd)-5b(bc+ad)=a $$

より、

$$ (a^2-5b^2)c=a $$

となる。

同様に、第1式に $-b$、第2式に $a$ をかけて加えると、

$$ -b(ac+5bd)+a(bc+ad)=-b $$

より、

$$ (a^2-5b^2)d=-b $$

となる。

ここで $a^2+b^2\ne 0$ であるから、$a,b$ は同時には $0$ でない。また、もし

$$ a^2-5b^2=0 $$

ならば、$a^2=5b^2$ である。$b\ne 0$ なら $\sqrt{5}=\left|\dfrac{a}{b}\right|$ となり、$\sqrt{5}$ が有理数になってしまう。これは矛盾である。したがって $b=0$ であり、そのとき $a=0$ となるが、これは $a^2+b^2\ne 0$ に反する。

よって

$$ a^2-5b^2\ne 0 $$

である。

したがって、

$$ c=\frac{a}{a^2-5b^2},\qquad d=-\frac{b}{a^2-5b^2} $$

である。

最後に （3） を示す。

（2） より、

$$ c=\frac{a}{a^2-5b^2},\qquad d=-\frac{b}{a^2-5b^2} $$

である。ここで

$$ N=a^2-5b^2 $$

とおく。

まず、$c,d$ が整数であるとする。このとき

$$ a=Nc,\qquad b=-Nd $$

である。これを $N=a^2-5b^2$ に代入すると、

$$ N=(Nc)^2-5(-Nd)^2 $$

より、

$$ N=N^2(c^2-5d^2) $$

となる。

また $N\ne 0$ であるから、両辺を $N$ で割って

$$ 1=N(c^2-5d^2) $$

を得る。$N$ と $c^2-5d^2$ は整数なので、$N$ は $1$ の約数である。したがって

$$ N=\pm 1 $$

すなわち

$$ |a^2-5b^2|=1 $$

である。

逆に、

$$ |a^2-5b^2|=1 $$

とする。このとき

$$ a^2-5b^2=\pm 1 $$

であるから、

$$ c=\frac{a}{a^2-5b^2},\qquad d=-\frac{b}{a^2-5b^2} $$

は整数である。実際、分母が $1$ または $-1$ なので、整数 $a,b$ に対して $c,d$ も整数になる。

よって、$c,d$ が整数になるための必要十分条件は

$$ |a^2-5b^2|=1 $$

である。

解説

この問題では、$a+b\sqrt{5}$ のような数を扱うとき、有理数部分と $\sqrt{5}$ の係数部分を分けることが重要である。

特に、$\sqrt{5}$ が無理数であることから、有理数 $x,y$ について

$$ x+y\sqrt{5}=0 $$

ならば $x=y=0$ と判断できる。この事実を使うことで、逆数の条件を連立方程式に直すことができる。

また、（3） では

$$ a^2-5b^2 $$

が分母として現れるため、これを $N$ とおくと整理しやすい。$c,d$ が整数であることは、分母 $N$ が $a,b$ を割ることに対応し、最終的に $N=\pm 1$ が導かれる。

答え

(1)

$$ a+b\sqrt{5}=0 $$

ならば

$$ a=b=0 $$

である。

(2)

$$ c=\frac{a}{a^2-5b^2},\qquad d=-\frac{b}{a^2-5b^2} $$

である。

(3)

$c,d$ が整数になるための必要十分条件は

$$ |a^2-5b^2|=1 $$

である。