数学A 整数問題 問題 91 解説

方針・初手

直角三角形で辺の長さが整数なので，ピタゴラスの定理を用いる。

$BC=p$，$CA=x$，$AB=y$ とおくと，$x,y$ は正の整数であり，

$$ y^2=x^2+p^2 $$

を満たす。これを

$$ (y-x)(y+x)=p^2 $$

と因数分解し，$p$ が素数であることを利用する。

解法1

$BC=p$，$CA=x$，$AB=y$ とおく。$\angle C$ が直角であるから，ピタゴラスの定理より

$$ y^2=x^2+p^2 $$

である。したがって

$$ y^2-x^2=p^2 $$

より，

$$ (y-x)(y+x)=p^2 $$

を得る。

ここで $x,y$ は正の整数で，$y>x$ である。また $p$ は $3$ 以上の素数なので奇数である。

$p^2$ の正の約数の組は

$$ 1,\ p,\ p^2 $$

から作られる。さらに $y-x<y+x$ であるから，可能性は

$$ (y-x,\ y+x)=(1,\ p^2) $$

または

$$ (y-x,\ y+x)=(p,\ p) $$

である。

しかし $(y-x,\ y+x)=(p,\ p)$ とすると $x=0$ となり，三角形の辺の長さとして不適である。

よって

$$ y-x=1,\qquad y+x=p^2 $$

である。これらを加えると

$$ 2y=p^2+1 $$

より，

$$ y=\frac{p^2+1}{2} $$

である。また，これらを引くと

$$ 2x=p^2-1 $$

より，

$$ x=\frac{p^2-1}{2} $$

である。

したがって

$$ AB=\frac{p^2+1}{2},\qquad CA=\frac{p^2-1}{2} $$

である。

次に，$\tan\angle A$ と $\tan\angle B$ を考える。

$\angle A$ について，向かい合う辺は $BC=p$，隣り合う辺は $CA=\dfrac{p^2-1}{2}$ であるから，

$$ \tan\angle A=\frac{BC}{CA} =\frac{p}{\frac{p^2-1}{2}} =\frac{2p}{p^2-1} $$

である。

$p\geqq 3$ より

$$ p^2-1>2p $$

が成り立つ。実際，

$$ p^2-1-2p=(p-1)^2-2>0 $$

である。したがって

$$ 0<\frac{2p}{p^2-1}<1 $$

であるから，$\tan\angle A$ は整数ではない。

次に，$\angle B$ について，向かい合う辺は $CA=\dfrac{p^2-1}{2}$，隣り合う辺は $BC=p$ であるから，

$$ \tan\angle B=\frac{CA}{BC} =\frac{\frac{p^2-1}{2}}{p} =\frac{p^2-1}{2p} $$

である。

ここで

$$ p^2-1=(p-1)(p+1) $$

であるが，$p$ は $p^2$ を割り切る一方，$p^2-1$ は $p$ で割ると余り $-1$ となるので，

$$ p\nmid p^2-1 $$

である。

したがって，分母 $2p$ に含まれる素因数 $p$ は分子 $p^2-1$ を割り切らない。よって

$$ \frac{p^2-1}{2p} $$

は整数ではない。

以上より，$\tan\angle A$ と $\tan\angle B$ はいずれも整数にならない。

解説

この問題の核心は，ピタゴラスの定理をそのまま使うだけでなく，

$$ AB^2-CA^2=BC^2 $$

を

$$ (AB-CA)(AB+CA)=p^2 $$

と因数分解する点にある。

$BC=p$ が素数であるため，積が $p^2$ になる正の整数の組はほとんど限られる。その結果，直角三角形の三辺は一意に決まる。

また，$\tan\angle A$ は $0$ と $1$ の間にあることから整数でないと分かる。一方，$\tan\angle B$ は見た目だけでは整数の可能性がありそうだが，分母に残る素因数 $p$ が分子を割り切らないことを確認すればよい。

答え

(1)

$$ AB=\frac{p^2+1}{2},\qquad CA=\frac{p^2-1}{2} $$

(2)

$$ \tan\angle A=\frac{2p}{p^2-1} $$

であり，$0<\tan\angle A<1$ だから整数ではない。

また，

$$ \tan\angle B=\frac{p^2-1}{2p} $$

であり，$p\nmid p^2-1$ だから整数ではない。