数学A 整数問題 問題 103 解説

方針・初手

$2021$ がすべての小問に現れるので、まず

$$ 2021=43\cdot 47 $$

を意識する。ただし、最大公約数は一方の素因数分解だけでは不十分なので、ユークリッドの互除法で確実に求める。

（2） は左辺を積の形に直すために定数 $21$ を加える。（3） は平方根が整数になる条件を、平方数の差として処理する。

解法1

(1)

ユークリッドの互除法を用いる。

$$ \begin{aligned} 9073&=2021\cdot 4+989,\\ 2021&=989\cdot 2+43,\\ 989&=43\cdot 23. \end{aligned} $$

最後に割り切れたので、最大公約数は

$$ 43 $$

である。

(2)

与えられた式

$$ ab-3a-7b=2000 $$

に対して、積の形を作るために両辺に $21$ を加える。

$$ ab-3a-7b+21=2021 $$

よって

$$ (a-7)(b-3)=2021 $$

となる。

ここで

$$ 2021=43\cdot 47 $$

であり、$2021$ の正の約数は

$$ 1,\ 43,\ 47,\ 2021 $$

である。

$a,b$ は正の整数である。もし $a-7$ と $b-3$ がともに負なら、$a\leqq 6,\ b\leqq 2$ であるから

$$ 0<(7-a)(3-b)\leqq 6\cdot 2=12 $$

となり、積が $2021$ になることはない。したがって $a-7,\ b-3$ はともに正である。

よって

$$ (a-7,b-3)=(1,2021),(43,47),(47,43),(2021,1) $$

である。

したがって

$$ (a,b)=(8,2024),(50,50),(54,46),(2028,4) $$

を得る。

(3)

$\sqrt{n^2+2021}$ が整数であるとする。その整数を $m$ とおくと、

$$ m=\sqrt{n^2+2021} $$

であり、

$$ m^2=n^2+2021 $$

となる。したがって

$$ m^2-n^2=2021 $$

すなわち

$$ (m-n)(m+n)=2021 $$

である。

$n$ は正の整数なので $m>n$ であり、$m-n$ と $m+n$ は正の整数である。また

$$ 2021=43\cdot 47 $$

だから、正の約数の組は

$$ (m-n,m+n)=(1,2021),(43,47) $$

である。

(i)

$(m-n,m+n)=(1,2021)$ のとき

$$ \begin{aligned} m-n&=1,\\ m+n&=2021 \end{aligned} $$

より、2式を引いて

$$ 2n=2020 $$

となる。したがって

$$ n=1010 $$

である。

(ii)

$(m-n,m+n)=(43,47)$ のとき

$$ \begin{aligned} m-n&=43,\\ m+n&=47 \end{aligned} $$

より、2式を引いて

$$ 2n=4 $$

となる。したがって

$$ n=2 $$

である。

以上より、求める正の整数 $n$ は

$$ n=2,\ 1010 $$

である。

解説

この問題では、$2021=43\cdot 47$ を使えるかどうかが中心である。

（1） は素因数分解に頼るよりも、ユークリッドの互除法が確実である。$9073$ の素因数分解を最初から考えるより、割り算の余りを追う方が速い。

（2） は

$$ ab-3a-7b $$

を見て、$(a-7)(b-3)$ を作る発想が重要である。定数項として $21$ が余分に出るので、両辺に $21$ を加える。

（3） は平方根が整数になる条件を、$m^2-n^2=2021$ と置き換えるのが標準的である。差の平方は

$$ m^2-n^2=(m-n)(m+n) $$

と因数分解できるので、約数の組を調べればよい。

答え

(1)

$$ 43 $$

(2)

$$ (a,b)=(8,2024),(50,50),(54,46),(2028,4) $$

(3)

$$ n=2,\ 1010 $$