数学B 等差数列･等比数列 問題 2 解説

方針・初手

$S_n$ が等比数列であることから、初項 $S_1$ と公比を置く。$S_1=a_1=2$ なので、$S_n$ は公比 $r$ を用いて表せる。

また、$S_n$ は交代和の部分和であるから、

$$ S_n-S_{n-1}=(-1)^{n-1}a_n $$

が成り立つ。この関係に $a_3=-\dfrac12$ を代入して公比 $r$ を決定する。

解法1

$S_n$ は等比数列であり、

$$ S_1=a_1=2 $$

である。公比を $r$ とすると、

$$ S_n=2r^{n-1} $$

と表せる。

一方、定義より $n\geqq2$ に対して

$$ S_n-S_{n-1}=(-1)^{n-1}a_n $$

である。

特に $n=3$ のとき、

$$ S_3-S_2=a_3 $$

となる。$S_3=2r^2,\ S_2=2r$ であり、$a_3=-\dfrac12$ だから、

$$ 2r^2-2r=-\frac12 $$

を得る。これを整理すると、

$$ 4r^2-4r+1=0 $$

すなわち

$$ (2r-1)^2=0 $$

である。よって、

$$ r=\frac12 $$

となる。

したがって、

$$ S_n=2\left(\frac12\right)^{n-1} $$

であり、整理して

$$ S_n=\frac{1}{2^{n-2}} $$

である。

次に $a_n$ を求める。$n\geqq2$ に対して、

$$ a_n=(-1)^{n-1}(S_n-S_{n-1}) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=(-1)^{n-1}\left\{2\left(\frac12\right)^{n-1}-2\left(\frac12\right)^{n-2}\right\}\\ &=(-1)^{n-1}\cdot 2\left(\frac12\right)^{n-2}\left(\frac12-1\right)\\ &=(-1)^{n-1}\cdot 2\left(\frac12\right)^{n-2}\left(-\frac12\right)\\ &=(-1)^n\left(\frac12\right)^{n-2} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ a_n=\frac{(-1)^n}{2^{n-2}}\quad(n\geqq2) $$

である。

ただし $n=1$ では $a_1=2$ であり、上の式に $n=1$ を代入すると $-2$ となってしまうため、$n=1$ は別に扱う必要がある。

したがって、

$$ a_1=2,\qquad a_n=\frac{(-1)^n}{2^{n-2}}\quad(n\geqq2) $$

である。

解説

この問題では、$S_n$ が等比数列であることを利用して、まず $S_n$ を公比 $r$ で表すのが自然である。

重要なのは、$S_n$ が $a_n$ そのものではなく、交代和の部分和である点である。したがって、$a_n$ は $S_n$ から直接読むのではなく、隣り合う部分和の差

$$ S_n-S_{n-1}=(-1)^{n-1}a_n $$

を用いて取り出す。

また、$a_3$ は $S_3-S_2$ に等しいため、この条件から公比が一意に定まる。$a_n$ の式は $n\geqq2$ で成り立つものであり、$a_1$ まで同じ式でまとめようとすると誤りになる点に注意する。

答え

(1)

$$ S_n=2\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{1}{2^{n-2}} $$

(2)

$$ a_1=2,\qquad a_n=\frac{(-1)^n}{2^{n-2}}\quad(n\geqq2) $$