数学B 等差数列･等比数列 問題 3 解説

方針・初手

3つの数列に現れる値を集合として考え、重複して数えないように包除原理を用いる。

それぞれの数列に現れる値の集合を

$$ A={3n-2},\quad B={4n+1},\quad C={7n} $$

とおく。求める個数は、$1000$ 以下の $A\cup B\cup C$ の要素数である。

解法1

まず各数列に現れる $1000$ 以下の値の個数を求める。

$A$ について、

$$ 3n-2\leqq 1000 $$

より

$$ 3n\leqq 1002 $$

したがって

$$ n\leqq 334 $$

であるから、$A$ の個数は $334$ 個である。

$B$ について、

$$ 4n+1\leqq 1000 $$

より

$$ 4n\leqq 999 $$

したがって

$$ n\leqq 249 $$

であるから、$B$ の個数は $249$ 個である。

$C$ について、

$$ 7n\leqq 1000 $$

より

$$ n\leqq 142 $$

であるから、$C$ の個数は $142$ 個である。

次に、2つの集合の共通部分を求める。

$A$ に現れる値は $3$ で割って $1$ 余る数であり、$B$ に現れる値は $4$ で割って $1$ 余る数である。したがって $A\cap B$ の値は

$$ x\equiv 1\pmod{3},\quad x\equiv 1\pmod{4} $$

を満たすので、

$$ x\equiv 1\pmod{12} $$

である。

ただし $x=1$ は $A$ には現れるが、$B$ には現れない。よって $A\cap B$ に現れる値は

$$ 13,25,37,\ldots,997 $$

である。その個数は

$$ \frac{997-13}{12}+1=83 $$

である。

次に $A\cap C$ を求める。$C$ の値は $7$ の倍数なので、$x=7k$ とおく。これが $A$ にも現れるためには

$$ 7k\equiv 1\pmod{3} $$

であればよい。$7\equiv 1\pmod{3}$ だから、

$$ k\equiv 1\pmod{3} $$

である。よって

$$ x=7,28,49,\ldots $$

すなわち

$$ x=21t+7\quad (t=0,1,2,\ldots) $$

となる。$1000$ 以下の個数は

$$ \frac{994-7}{21}+1 $$

ではなく、実際に最大の項を確認すると

$$ 21\cdot 47+7=994 $$

であるから、

$$ 47+1=48 $$

個である。

次に $B\cap C$ を求める。$x=7k$ とおくと、$B$ にも現れるためには

$$ 7k\equiv 1\pmod{4} $$

であればよい。$7\equiv 3\pmod{4}$ だから、

$$ 3k\equiv 1\pmod{4} $$

である。$3^{-1}\equiv 3\pmod{4}$ より、

$$ k\equiv 3\pmod{4} $$

である。したがって

$$ x=21,49,77,\ldots $$

すなわち

$$ x=28t+21\quad (t=0,1,2,\ldots) $$

となる。$1000$ 以下では

$$ 28\cdot 34+21=973 $$

までであるから、個数は

$$ 34+1=35 $$

個である。

最後に、3つすべてに共通する値を求める。$A\cap B$ では

$$ x\equiv 1\pmod{12} $$

であり、さらに $C$ にも現れるので

$$ x\equiv 0\pmod{7} $$

を満たす必要がある。

$x=7k$ とおくと、

$$ 7k\equiv 1\pmod{12} $$

である。$7\cdot 7=49\equiv 1\pmod{12}$ より、

$$ k\equiv 7\pmod{12} $$

となる。したがって

$$ x\equiv 49\pmod{84} $$

である。$1000$ 以下の値は

$$ 49,133,217,\ldots,973 $$

であり、その個数は

$$ \frac{973-49}{84}+1=12 $$

である。

包除原理より、求める個数は

$$ 334+249+142-83-48-35+12 $$

である。これを計算して

$$ 334+249+142-83-48-35+12=571 $$

となる。

解説

この問題では、各数列の項数を単純に足すだけでは重複分を余計に数えてしまう。したがって、共通して現れる値を合同式で処理し、包除原理で重複を調整するのが基本方針である。

特に注意すべき点は、$b_n=4n+1$ は $5,9,13,\ldots$ から始まり、$1$ は含まれないことである。そのため、$A\cap B$ を単に $x\equiv 1\pmod{12}$ としただけでは $x=1$ を誤って含めてしまう。

答え

$$ 571 $$