数学B 等差数列･等比数列 問題 11 解説

方針・初手

等差数列の和の公式

$$ S_n=\frac{n}{2}{2a+(n-1)r} $$

を用いて、まず数列 ${a_n}$ の初項と公差を求める。

その後、条件 $a_5=b_4,\ a_{10}=b_7$ から数列 ${b_n}$ を決める。最後に、両方の数列に共通して現れる項を合同条件として整理する。

解法1

数列 ${a_n}$ の初項を $A$、公差を $r$ とする。

初項から第 $10$ 項までの和が $175$ であるから、

$$ \frac{10}{2}(2A+9r)=175 $$

より、

$$ 2A+9r=35 $$

である。

また、初項から第 $20$ 項までの和が $650$ であるから、

$$ \frac{20}{2}(2A+19r)=650 $$

より、

$$ 2A+19r=65 $$

である。

したがって、

$$ (2A+19r)-(2A+9r)=65-35 $$

より、

$$ 10r=30 $$

となるので、

$$ r=3 $$

である。

これを $2A+9r=35$ に代入すると、

$$ 2A+27=35 $$

より、

$$ A=4 $$

である。

したがって、数列 ${a_n}$ は

$$ a_n=4+3(n-1)=3n+1 $$

である。

次に、数列 ${b_n}$ の初項を $b$、公差を $d$ とする。このとき、

$$ b_n=b+(n-1)d $$

である。

条件 $a_5=b_4$ より、

$$ a_5=3\cdot 5+1=16 $$

なので、

$$ b+3d=16 $$

である。

また、条件 $a_{10}=b_7$ より、

$$ a_{10}=3\cdot 10+1=31 $$

なので、

$$ b+6d=31 $$

である。

したがって、

$$ (b+6d)-(b+3d)=31-16 $$

より、

$$ 3d=15 $$

となるので、

$$ d=5 $$

である。

これを $b+3d=16$ に代入すると、

$$ b+15=16 $$

より、

$$ b=1 $$

である。

したがって、数列 ${b_n}$ は

$$ b_n=1+5(n-1)=5n-4 $$

である。

ここで、数列 ${a_n}$ に含まれる項は

$$ 3n+1 $$

の形であり、$3$ で割ると $1$ 余る。

また、数列 ${b_n}$ に含まれる項は

$$ 5n-4 $$

の形であり、$5$ で割ると $1$ 余る。

したがって、両方の数列に共通して含まれる項は、

$$ x\equiv 1 \pmod{3},\qquad x\equiv 1 \pmod{5} $$

を満たす。

よって、

$$ x\equiv 1 \pmod{15} $$

である。

ただし、${a_n}$ の初項は $4$ であるため、$x=1$ は ${a_n}$ に含まれない。したがって、最初の共通項は

$$ 16 $$

である。

よって、新しい数列 ${c_n}$ は

$$ 16,\ 31,\ 46,\ \cdots $$

となるから、初項 $16$、公差 $15$ の等差数列である。

したがって、

$$ c_n=16+15(n-1)=15n+1 $$

である。

次に、$c_n\leqq 500$ を満たす範囲を求める。

$$ 15n+1\leqq 500 $$

より、

$$ 15n\leqq 499 $$

であるから、

$$ n\leqq \frac{499}{15} $$

となる。

よって、条件を満たすのは

$$ n=1,2,\dots,33 $$

である。

したがって、求める和は初項 $16$、公差 $15$、項数 $33$ の等差数列の和であるから、

$$ \frac{33}{2}{2\cdot 16+(33-1)\cdot 15} $$

である。

これを計算すると、

$$ \frac{33}{2}(32+480)=\frac{33}{2}\cdot 512=33\cdot 256=8448 $$

となる。

解説

まず和の条件から ${a_n}$ を決定するのが自然である。第 $10$ 項までの和と第 $20$ 項までの和が与えられているので、等差数列の和の公式を2本立てれば、初項と公差が求まる。

共通項を考える場面では、実際に列挙してもよいが、合同条件で見ると整理しやすい。${a_n}$ の項は $3$ で割って $1$ 余る数、${b_n}$ の項は $5$ で割って $1$ 余る数であるため、共通項は $15$ で割って $1$ 余る数になる。

ただし、$1$ は ${b_n}$ には含まれるが、${a_n}$ には含まれない。この点を見落とすと、共通項の初項を誤る。

答え

(1)

$$ [ア]=4,\qquad [イ]=3 $$

(2)

$$ [ウ]=1,\qquad [エ]=5 $$

(3)

$$ [オ]=16,\qquad [カ]=15,\qquad [キ]=8448 $$