数学B 等差数列･等比数列 問題 12 解説

方針・初手

まず $a_3=12$ を基準にして、一般項と和を $d$ だけで表す。等差数列では

$$ a_n=a_3+(n-3)d $$

と書けるので、条件 $S_8>0,\ S_9<0$ から $d$ の範囲を決める。その後、項の符号変化を見て、部分和 $S_n$ が最大となる位置を判断する。

解法1

$a_3=12$ より、一般項は

$$ a_n=12+(n-3)d $$

である。また初項は

$$ a_1=12-2d $$

であるから、和 $S_n$ は

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{n}{2}{2a_1+(n-1)d} \\ &=\frac{n}{2}{2(12-2d)+(n-1)d} \\ &=\frac{n}{2}{24+(n-5)d} \end{aligned} $$

となる。

(1)

条件 $S_8>0$ より、

$$ S_8=\frac{8}{2}{24+3d}=4(24+3d)>0 $$

である。したがって

$$ 24+3d>0 $$

より、

$$ d>-8 $$

である。

また、条件 $S_9<0$ より、

$$ S_9=\frac{9}{2}{24+4d}<0 $$

である。ここで $\frac{9}{2}>0$ だから、

$$ 24+4d<0 $$

より、

$$ d<-6 $$

である。

よって、

$$ -8<d<-6 $$

である。

(2)

$n>3$ のとき $n-3>0$ であり、

$$ a_n=12+(n-3)d $$

である。（1） より $-8<d<-6$ だから、両辺に正の数 $n-3$ をかけて

$$ -8(n-3)<(n-3)d<-6(n-3) $$

となる。

よって、

$$ 12-8(n-3)<a_n<12-6(n-3) $$

である。整理して、

$$ 36-8n<a_n<30-6n $$

となる。

(3)

項の符号を直接調べる。

$$ a_4=12+d $$

であり、$-8<d<-6$ より

$$ 4<a_4<6 $$

だから、

$$ a_4>0 $$

である。

また、

$$ a_5=12+2d $$

であり、$-8<d<-6$ より

$$ -4<a_5<0 $$

だから、

$$ a_5<0 $$

である。したがって

$$ a_4>0,\quad a_5\leqq 0 $$

を満たすので、求める $n$ は

$$ n=4 $$

である。

(4)

部分和の差は

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

である。したがって、$a_{n+1}>0$ の間は $S_n$ は増加し、$a_{n+1}<0$ となると $S_n$ は減少する。

（3） より

$$ a_4>0,\quad a_5<0 $$

である。また $d<0$ なので、数列 $a_n$ は減少数列であり、$a_5<0$ 以降の項はすべて負である。

したがって、

$$ S_1<S_2<S_3<S_4 $$

かつ、

$$ S_4>S_5>S_6>\cdots $$

となるので、$S_n$ が最大となるのは

$$ n=4 $$

のみである。

このとき、

$$ S_4=\frac{4}{2}{24+(4-5)d}=2(24-d)=48-2d $$

である。

解説

この問題では、$a_3=12$ を基準にして $a_n=12+(n-3)d$ と表すのが最短である。初項 $a$ を使い続けるより、条件に出ている $a_3$ を中心に置いた方が計算が簡潔になる。

また、部分和 $S_n$ の最大値は、和の公式を二次関数として扱っても求められるが、ここでは

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

を使う方が自然である。部分和は、次に加える項が正なら増加し、負なら減少する。したがって、項の符号が正から負に変わる位置を見つければよい。

答え

(1)

$$ -8<d<-6 $$

(2)

$$ 36-8n<a_n<30-6n \quad (n>3) $$

(3)

$$ n=4 $$

(4)

$$ n=4 $$

そのとき、

$$ S_4=48-2d $$