数学B 等差数列･等比数列 問題 24 解説

方針・初手

3個の数を小さい順に $a,\ b,\ c$ とおく。これが等差数列である条件は、ある正の整数 $d$ を用いて

$$ a,\ a+d,\ a+2d $$

と表せることである。

したがって、初項 $a$ と公差 $d$ がどの範囲を動けるかを数えればよい。

解法1

(1)

公差が $2$ の等差数列となるには、3個の数は

$$ a,\ a+2,\ a+4 $$

と表される。

これらがすべて $1,2,3,\ldots,2n$ の中にあるためには

$$ 1 \leq a,\qquad a+4 \leq 2n $$

であればよい。よって

$$ 1 \leq a \leq 2n-4 $$

である。

したがって、初項 $a$ の選び方は

$$ 2n-4 $$

通りである。

(2)

3個の数を小さい順に並べたものが等差数列であるとき、ある正の整数 $d$ により

$$ a,\ a+d,\ a+2d $$

と表せる。

これらが $1,2,\ldots,2n$ の中にある条件は

$$ 1 \leq a,\qquad a+2d \leq 2n $$

である。

したがって、固定した公差 $d$ に対して、初項 $a$ は

$$ 1 \leq a \leq 2n-2d $$

を満たすので、$2n-2d$ 通りある。

また、$a$ が存在するためには

$$ 2n-2d \geq 1 $$

である必要がある。$d$ は整数なので、

$$ d=1,2,\ldots,n-1 $$

である。

よって、等差数列となる選び方の総数は

$$ \sum_{d=1}^{n-1} (2n-2d) $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{d=1}^{n-1} (2n-2d) &=2\sum_{d=1}^{n-1}(n-d)\\ &=2{(n-1)+(n-2)+\cdots+1}\\ &=2\cdot \frac{n(n-1)}{2}\\ &=n(n-1) \end{aligned} $$

となる。

一方、$1,2,3,\ldots,2n$ から異なる3個の数を選ぶ総数は

$$ \begin{aligned} {}_ {2n}C_3 &= \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{n(n-1)}{{}_{2n}C_3} &= \frac{n(n-1)}{\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}} \end{aligned} $$

である。整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{n(n-1)}{\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}} &= \frac{6n(n-1)}{2n(2n-1)\cdot 2(n-1)}\\ &= \frac{3}{2(2n-1)} \end{aligned} $$

である。

解説

3個の数を選ぶ問題では、選んだ順番は関係ない。しかし「小さい順に並べた数列」とあるので、選ばれた3個を一意に

$$ a<a+d<a+2d $$

の形で表せる。

この形にしておけば、同じ選び方を重複して数えることがない。公差 $d$ を固定し、そのあと初項 $a$ の範囲を数えるのが最も自然である。

特に、(2)では公差を $1$ から $n-1$ まで動かす点に注意する。$d=n$ とすると最小でも

$$ 1,\ 1+n,\ 1+2n $$

となり、最後の項が $2n$ を超えてしまうため不可能である。

答え

(1)

$$ 2n-4 $$

通り。

(2)

$$ \frac{3}{2(2n-1)} $$