数学B 等差数列･等比数列 問題 23 解説

方針・初手

等比数列なので、公比を $r$ とおく。 $a_6+a_7+a_8$ と $a_9+a_{10}+a_{11}$ は、どちらも連続する3項の和であり、後者は前者に $r^3$ をかけた形になる。

解法1

公比を $r$ とすると、

$$ a_7=a_6r,\quad a_8=a_6r^2 $$

であるから、

$$ a_6+a_7+a_8=a_6(1+r+r^2)=3 $$

である。

また、

$$ a_9=a_6r^3,\quad a_{10}=a_6r^4,\quad a_{11}=a_6r^5 $$

より、

$$ a_9+a_{10}+a_{11}=a_6r^3(1+r+r^2) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_9+a_{10}+a_{11} &= r^3(a_6+a_7+a_8) \end{aligned} $$

となる。

条件より、

$$ -\frac{3}{8}=3r^3 $$

であるから、

$$ r^3=-\frac{1}{8} $$

となる。公比 $r$ は実数なので、

$$ r=-\frac{1}{2} $$

である。

次に、

$$ a_6(1+r+r^2)=3 $$

へ $r=-\frac{1}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} 1+r+r^2 &= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

であるから、

$$ a_6\cdot \frac{3}{4}=3 $$

より、

$$ a_6=4 $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} a_{10}=a_6r^4 &= 4\left(-\frac{1}{2}\right)^4 \\ 4\cdot \frac{1}{16} \\ \frac{1}{4} \end{aligned} $$

となる。

次に、

$$ \sum_{k=1}^{9}a_ka_{18-k} $$

を求める。

等比数列の一般項を $a_n=a_1r^{n-1}$ とすると、

$$ \begin{aligned} a_ka_{18-k} &= a_1r^{k-1}\cdot a_1r^{17-k} \\ a_1^2r^{16} \end{aligned} $$

である。これは $k$ によらず一定である。

また、

$$ a_9=a_1r^8 $$

なので、

$$ a_1^2r^{16}=a_9^2 $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} a_9=a_6r^3 &= 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \\ 4\cdot\left(-\frac{1}{8}\right) \\ -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

より、

$$ a_ka_{18-k}=a_9^2=\frac{1}{4} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{9}a_ka_{18-k} &= 9\cdot \frac{1}{4} \\ \frac{9}{4} \end{aligned} $$

である。

解説

連続する3項の和を比べるときは、等比数列の性質から「3項分ずれると $r^3$ 倍になる」と見るのが早い。

また、$a_ka_{18-k}$ では添字の和が常に $18$ で一定である。等比数列では、添字の和が一定なら積も一定になるため、各項はすべて $a_9^2$ に等しい。この見方を使うと、和を直接展開せずに処理できる。

答え

$$ \boxed{[ア]=\frac{1}{4}} $$

$$ \boxed{[イ]=\frac{9}{4}} $$