数学B 等差数列･等比数列 問題 26 解説

方針・初手

等差数列の一般項 $a_n=a+(n-1)d$ を用いる。第 $3$ 項と第 $10$ 項の条件から $a,d$ を決定し、その後 $a_n$ の式を使って各問を処理する。

解法1

等差数列の一般項は

$$ a_n=a+(n-1)d $$

である。

第 $3$ 項が $8$ であるから

$$ a_3=a+2d=8 $$

第 $10$ 項が $29$ であるから

$$ a_{10}=a+9d=29 $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a+2d&=8,\\ a+9d&=29 \end{aligned} $$

を解く。

2式の差をとると

$$ 7d=21 $$

より

$$ d=3 $$

である。これを $a+2d=8$ に代入して

$$ a+6=8 $$

より

$$ a=2 $$

となる。

したがって一般項は

$$ a_n=2+3(n-1)=3n-1 $$

である。

次に

$$ 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n} $$

を求める。$a_k=3k-1$ であるから

$$ 2^{a_k}=2^{3k-1} $$

である。よって求める和は

$$ \begin{aligned} 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n} &=2^2+2^5+\cdots+2^{3n-1}\\ &=4+32+\cdots+2^{3n-1} \end{aligned} $$

となる。

これは初項 $4$，公比 $8$，項数 $n$ の等比数列の和である。したがって

$$ 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n} =4\cdot \frac{8^n-1}{8-1} $$

より

$$ 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n} =\frac{4(8^n-1)}{7} $$

である。

最後に，$200$ 以下の $a_n$ のうち偶数であるものの和を求める。

$$ a_n=3n-1\leqq 200 $$

より

$$ 3n\leqq 201 $$

したがって

$$ n\leqq 67 $$

である。

また，$a_n=3n-1$ が偶数となる条件を考える。$3n-1$ が偶数となるのは，$n$ が奇数のときである。

よって対象となるのは

$$ n=1,3,5,\ldots,67 $$

のときである。このときの $a_n$ は

$$ a_1=2,\quad a_3=8,\quad a_5=14,\quad \ldots,\quad a_{67}=200 $$

であり，初項 $2$，末項 $200$，公差 $6$ の等差数列である。

項数は，$1$ から $67$ までの奇数の個数なので

$$ 34 $$

である。したがって求める和は

$$ \frac{34(2+200)}{2}=34\cdot 101=3434 $$

である。

解説

第 $3$ 項と第 $10$ 項の情報から，まず等差数列の基本式 $a_n=a+(n-1)d$ に代入して $a,d$ を求めるのが初手である。

(2) では，指数部分が $a_k=3k-1$ となるため，$2^{a_k}$ は

$$ 2^{3k-1} $$

となる。隣り合う項の比は

$$ \frac{2^{3(k+1)-1}}{2^{3k-1}}=2^3=8 $$

であるから，等比数列の和として処理できる。

(3) では，$a_n=3n-1$ が偶数となる条件を $n$ の偶奇に直すのが重要である。$n$ が奇数のときだけ $a_n$ は偶数になり，その項だけを取り出すと公差 $6$ の等差数列になる。

答え

(1)

$$ a=2,\qquad d=3 $$

(2)

$$ 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n} =\frac{4(8^n-1)}{7} $$

(3)

$$ 3434 $$