数学B 等差数列･等比数列 問題 27 解説

方針・初手

集合 $A,B$ はそれぞれ等差数列に現れる数の集合なので、各集合の条件を合同式で表す。共通部分 $A\cap B$ は、2つの合同条件を同時に満たす整数である。

解法1

$A$ に属する数は、初項 $5$、公差 $4$ の等差数列に現れるから、

$$ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \cdots $$

である。したがって、$A$ に属する数 $n$ は

$$ n \equiv 5 \pmod{4} $$

を満たす。これは

$$ n \equiv 1 \pmod{4} $$

と同じである。ただし、$A$ には $1$ は含まれないことに注意する。

また、$B$ に属する数は、初項 $1$、公差 $6$ の等差数列に現れるから、

$$ 1,\ 7,\ 13,\ 19,\ \cdots $$

である。したがって、$B$ に属する数 $n$ は

$$ n \equiv 1 \pmod{6} $$

を満たす。

よって、共通部分 $A\cap B$ に属する数 $n$ は

$$ n \equiv 1 \pmod{4}, \qquad n \equiv 1 \pmod{6} $$

を同時に満たす。

$4$ と $6$ の最小公倍数は $12$ であるから、

$$ n \equiv 1 \pmod{12} $$

となる。

したがって、$1$ から $180$ までの整数のうち、この条件を満たすものは

$$ 1,\ 13,\ 25,\ 37,\ \cdots,\ 169 $$

である。

ただし、$1$ は $B$ には属するが、$A$ の初項は $5$ なので $A$ には属さない。したがって、共通部分に属するものは

$$ 13,\ 25,\ 37,\ \cdots,\ 169 $$

である。

これは初項 $13$、公差 $12$、末項 $169$ の等差数列であるから、項数を $m$ とすると

$$ 13+12(m-1)=169 $$

より、

$$ 12(m-1)=156 $$

$$ m-1=13 $$

$$ m=14 $$

である。

解法2

$A$ の要素は

$$ 5+4p $$

と表せる。ただし $p$ は $0$ 以上の整数である。

$B$ の要素は

$$ 1+6q $$

と表せる。ただし $q$ は $0$ 以上の整数である。

共通部分に属する数は

$$ 5+4p=1+6q $$

を満たす。これを整理すると、

$$ 4p-6q=-4 $$

両辺を $2$ で割って、

$$ 2p-3q=-2 $$

である。

この式から、$2p=3q-2$ となるので、右辺 $3q-2$ は偶数でなければならない。したがって $q$ は偶数である。

そこで

$$ q=2r $$

とおくと、

$$ 2p-6r=-2 $$

より、

$$ p=3r-1 $$

である。

このとき共通部分の数は

$$ 1+6q=1+12r $$

となる。

また、$p\geqq 0$ より

$$ 3r-1\geqq 0 $$

だから、$r\geqq 1$ である。

さらに、数は $180$ 以下なので、

$$ 1+12r\leqq 180 $$

より、

$$ 12r\leqq 179 $$

したがって

$$ r\leqq 14 $$

である。

よって

$$ r=1,2,\dots,14 $$

となり、共通部分の要素の個数は $14$ 個である。

解説

この問題では、等差数列に現れる数を「合同式」で表すのが最も自然である。初項 $5$、公差 $4$ の数列は $4$ で割った余りが $1$ の数全体に近いが、$1$ 自身は含まれない点が落とし穴である。

単に

$$ n\equiv 1 \pmod{12} $$

として $1,13,25,\dots,169$ を数えると $15$ 個になってしまうが、$1$ は $A$ に属さないため除外する必要がある。

答え

$A\cap B$ に属する要素の個数は

$$ 14 $$

個である。