数学B 等差数列･等比数列 問題 28 解説

方針・初手

等比数列の場合は、連続する $k$ 項ごとの和が公比の $k$ 乗倍になることを用いる。

等差数列の場合は、$T_m$ を直接計算して、$m$ の1次式になることを示せばよい。

解法1

(1)

数列 ${a_n}$ の初項を $a$、公比を $r$ とする。ここで $r$ は実数である。

$k=4$ より、

$$ T_1=a_1+a_2+a_3+a_4=a(1+r+r^2+r^3) $$

である。また、

$$ T_2=a_5+a_6+a_7+a_8=ar^4(1+r+r^2+r^3) $$

である。

$T_1=5\ne 0$ だから、

$$ \frac{T_2}{T_1}=r^4 $$

が成り立つ。よって、

$$ r^4=\frac{80}{5}=16 $$

である。$r$ は実数なので、

$$ r=2,\ -2 $$

である。

(i)

$r=2$ のとき

$$ T_1=a(1+2+4+8)=15a=5 $$

より、

$$ a=\frac{1}{3} $$

である。したがって、

$$ a_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1} $$

である。

(ii)

$r=-2$ のとき

$$ T_1=a{1+(-2)+(-2)^2+(-2)^3}=a(1-2+4-8)=-5a=5 $$

より、

$$ a=-1 $$

である。したがって、

$$ a_n=-(-2)^{n-1} $$

である。

以上より、求める一般項は

$$ a_n=\frac{1}{3}2^{n-1} $$

または

$$ a_n=-(-2)^{n-1} $$

である。

(2)

数列 ${a_n}$ が等差数列であるとし、初項を $a$、公差を $d$ とする。すなわち、

$$ a_n=a+(n-1)d $$

である。

$T_m$ は第 $(m-1)k+1$ 項から第 $mk$ 項までの $k$ 項の和であるから、

$$ T_m=\sum_{i=1}^{k}a_{(m-1)k+i} $$

である。ここで、

$$ a_{(m-1)k+i} =a+{(m-1)k+i-1}d $$

なので、

$$ \begin{aligned} T_m &=\sum_{i=1}^{k}\left[a+{(m-1)k+i-1}d\right] \\ &=ka+d\sum_{i=1}^{k}{(m-1)k+i-1} \\ &=ka+d\left\{k(m-1)k+\sum_{i=1}^{k}(i-1)\right\} \\ &=ka+d\left\{k^2(m-1)+\frac{k(k-1)}{2}\right\}. \end{aligned} $$

これは $m$ の1次式である。したがって、数列 ${T_m}$ は等差数列である。

実際、

$$ T_{m+1}-T_m=k^2d $$

で一定である。よって、${T_m}$ は公差 $k^2d$ の等差数列である。

解説

等比数列では、項を $k$ 個ずつずらすと各項が $r^k$ 倍になるため、ブロックごとの和も $r^k$ 倍になる。この問題では $k=4$ なので、$T_2=r^4T_1$ から公比を決定できる。

ただし、$r^4=16$ から $r=2$ だけでなく $r=-2$ も出る点に注意する。公比が実数という条件では、負の公比も許される。

等差数列の場合は、連続する $k$ 項の和を直接計算すると、ブロック番号 $m$ に関する1次式になる。したがって、隣り合う $T_m$ の差は一定となり、${T_m}$ も等差数列になる。

答え

(1)

$$ a_n=\frac{1}{3}2^{n-1} $$

または

$$ a_n=-(-2)^{n-1} $$

(2)

${a_n}$ が等差数列であるとき、${T_n}$ も等差数列である。元の数列の公差を $d$ とすると、${T_n}$ の公差は $k^2d$ である。