数学B 等差数列･等比数列 問題 30 解説

方針・初手

$b_n$ は $a_1,\dots,a_n$ の平均である。したがって

$$ a_1+\cdots+a_n=nb_n $$

とおける。この関係から、$n\geq 2$ のとき

$$ a_n=(a_1+\cdots+a_n)-(a_1+\cdots+a_{n-1})=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

が成り立つ。この式を使うと、${a_n}$ と ${b_n}$ の等差性を行き来できる。

解法1

(1)

${a_n}$ が等差数列であるとする。初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$$ a_n=a+(n-1)d $$

である。

このとき、

$$ \begin{aligned} b_n &=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \\ &=\frac{1}{n}\cdot \frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=\frac{a+{a+(n-1)d}}{2} \\ &=a+\frac{n-1}{2}d \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ b_n=a+\frac{n-1}{2}d $$

は $n$ の一次式であるから、${b_n}$ は等差数列である。

(2)

${b_n}$ が等差数列であるとする。初項を $b$、公差を $r$ とすると、

$$ b_n=b+(n-1)r $$

である。

$n\geq 2$ のとき、

$$ a_n=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=n{b+(n-1)r}-(n-1){b+(n-2)r} \\ &={n-(n-1)}b+{n(n-1)-(n-1)(n-2)}r \\ &=b+2(n-1)r \end{aligned} $$

となる。

また $n=1$ のときは $b_1=a_1$ であり、上の式に $n=1$ を代入すると $a_1=b$ となるので一致する。

したがって、

$$ a_n=b+2(n-1)r $$

であり、${a_n}$ は等差数列である。

(3)

${b_n}$ は等差数列であるから、

$$ b_n=pn+q $$

とおける。

条件より、

$$ \sum_{k=1}^{10}b_{2k-1}=20,\qquad \sum_{k=1}^{10}b_{2k}=10 $$

である。

まず、

$$ b_{2k-1}=p(2k-1)+q $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}b_{2k-1} &=\sum_{k=1}^{10}{p(2k-1)+q} \\ &=p\sum_{k=1}^{10}(2k-1)+10q \\ &=100p+10q \end{aligned} $$

である。よって、

$$ 100p+10q=20 $$

となる。

また、

$$ b_{2k}=2kp+q $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}b_{2k} &=\sum_{k=1}^{10}(2kp+q) \\ &=2p\sum_{k=1}^{10}k+10q \\ &=110p+10q \end{aligned} $$

である。よって、

$$ 110p+10q=10 $$

となる。

以上より、

$$ \begin{cases} 100p+10q=20 \\ 110p+10q=10 \end{cases} $$

である。2式を引くと、

$$ 10p=-10 $$

より、

$$ p=-1 $$

である。

これを $100p+10q=20$ に代入すると、

$$ -100+10q=20 $$

より、

$$ q=12 $$

である。

したがって、

$$ b_n=12-n $$

である。

ここで、

$$ a_n=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

を用いる。$b_n=12-n$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=n(12-n)-(n-1){12-(n-1)} \\ &=n(12-n)-(n-1)(13-n) \\ &=13-2n \end{aligned} $$

となる。

よって、求める一般項は

$$ a_n=13-2n $$

である。

解説

この問題の中心は、平均で定義された $b_n$ をそのまま扱うのではなく、

$$ a_1+\cdots+a_n=nb_n $$

と見て、隣り合う式の差を取ることで

$$ a_n=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

を得ることである。

（1） では、等差数列の平均が「初項と末項の平均」で表せることを使えばよい。

（2） では、$b_n$ が等差数列なら $b_n$ は $n$ の一次式であり、そこから $a_n$ も $n$ の一次式になることを示せばよい。

（3） では、${b_n}$ を $b_n=pn+q$ とおき、奇数番目と偶数番目の和の条件から $p,q$ を決定する。最後に $b_n$ から $a_n$ に戻す点を忘れないことが重要である。

答え

(1)

${a_n}$ が等差数列なら、${b_n}$ も等差数列である。

(2)

${b_n}$ が等差数列なら、${a_n}$ も等差数列である。

(3)

$$ a_n=13-2n $$