数学B 等差数列･等比数列 問題 31 解説

方針・初手

3辺の長さが等差数列で、和が $3$ であるから、中央の辺の長さは $1$ である。したがって、3辺を小さい順に

$$ 1-d,\quad 1,\quad 1+d $$

とおく。ただし $0<d<1$ である。

最大角と最小角の差が $90^\circ$ であることを、正弦定理を用いて辺の比に直す。

解法1

辺 $1-d,\ 1,\ 1+d$ に向かい合う角をそれぞれ $A,\ B,\ C$ とする。辺の大小と角の大小は対応するので、

$$ A<B<C $$

である。

条件より、最大角と最小角の差は $90^\circ$ だから、

$$ C-A=90^\circ $$

である。よって

$$ C=A+90^\circ $$

であり、三角形の内角の和から

$$ A+B+C=180^\circ $$

なので、

$$ A+B+(A+90^\circ)=180^\circ $$

より

$$ B=90^\circ-2A $$

である。

正弦定理より、辺の長さはそれぞれ向かい合う角の正弦に比例する。したがって、$1-d,\ 1,\ 1+d$ が等差数列であることから、

$$ \sin A,\quad \sin B,\quad \sin C $$

も等差数列である。よって

$$ 2\sin B=\sin A+\sin C $$

が成り立つ。

ここで

$$ B=90^\circ-2A,\qquad C=90^\circ+A $$

を代入すると、

$$ 2\sin(90^\circ-2A)=\sin A+\sin(90^\circ+A) $$

である。すなわち

$$ 2\cos 2A=\sin A+\cos A $$

となる。

さらに

$$ \cos 2A=(\cos A+\sin A)(\cos A-\sin A) $$

であるから、

$$ 2(\cos A+\sin A)(\cos A-\sin A)=\sin A+\cos A $$

である。$A$ は三角形の内角なので $\sin A+\cos A>0$ より、両辺を $\sin A+\cos A$ で割って

$$ 2(\cos A-\sin A)=1 $$

を得る。したがって

$$ \cos A-\sin A=\frac{1}{2} $$

である。

ここで $t=\tan A$ とおく。$A$ は鋭角なので、

$$ \sin A=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\qquad \cos A=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} $$

である。したがって

$$ \frac{1-t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{2} $$

となる。

両辺を2乗して整理すると、

$$ 4(1-t)^2=1+t^2 $$

より

$$ 3t^2-8t+3=0 $$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{4\pm\sqrt{7}}{3} $$

となる。

一方、$A<B$ であり $B=90^\circ-2A$ だから、

$$ A<30^\circ $$

である。よって

$$ 0<\tan A<\frac{1}{\sqrt{3}} $$

でなければならない。したがって採用できるのは

$$ t=\tan A=\frac{4-\sqrt{7}}{3} $$

である。

次に、辺の比を用いて $d$ を求める。正弦定理より、

$$ \frac{1+d}{1-d}=\frac{\sin C}{\sin A} $$

である。ここで $C=90^\circ+A$ だから、

$$ \sin C=\sin(90^\circ+A)=\cos A $$

である。したがって

$$ \frac{1+d}{1-d}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{1}{\tan A}=\frac{1}{t} $$

となる。

よって

$$ t(1+d)=1-d $$

であり、

$$ d=\frac{1-t}{1+t} $$

である。$t=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} d = \\ \frac{1-\frac{4-\sqrt{7}}{3}}{1+\frac{4-\sqrt{7}}{3}} \\ \frac{\sqrt{7}-1}{7-\sqrt{7}} \\ \frac{1}{\sqrt{7}} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める3辺の長さは

$$ 1-\frac{1}{\sqrt{7}},\quad 1,\quad 1+\frac{1}{\sqrt{7}} $$

である。

解説

3辺が等差数列で和が $3$ という条件から、中央の辺をすぐに $1$ とおける点が重要である。

また、最大角と最小角の差が $90^\circ$ という条件は、角を直接扱うよりも、正弦定理によって辺の比に対応させると処理しやすい。特に、辺が等差数列であることから、それに対応する $\sin A,\sin B,\sin C$ も等差数列になる点がこの問題の中心である。

答え

$$ 1-\frac{1}{\sqrt{7}},\quad 1,\quad 1+\frac{1}{\sqrt{7}} $$