数学B 等差数列･等比数列 問題 33 解説

方針・初手

$b_n$ は $a_1,\dots,a_n$ の平均であるから、和

$$ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n $$

を用いると

$$ S_n=nb_n $$

と表せる。したがって、$a_n$ と $b_n$ の関係は

$$ a_n=S_n-S_{n-1}=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

から調べるのが基本である。

解法1

(1)

${a_n}$ が等差数列であるとする。初項を $a_1$、公差を $r$ とおくと、

$$ a_n=a_1+(n-1)r $$

である。

このとき

$$ \begin{aligned} b_n &=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \\ &=\frac{1}{n}\cdot \frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=\frac{a_1+a_1+(n-1)r}{2} \\ &=a_1+\frac{n-1}{2}r \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ b_{n+1}-b_n=\frac{r}{2} $$

で一定である。したがって、${b_n}$ も等差数列である。

(2)

${b_n}$ は公差 $d$ の等差数列であるから、

$$ b_n=b_1+(n-1)d $$

と表せる。

(i)

$n\geqq 2$ のとき、

$$ a_n=(a_1+\cdots+a_n)-(a_1+\cdots+a_{n-1}) $$

である。また、定義より

$$ a_1+\cdots+a_n=nb_n $$

かつ

$$ a_1+\cdots+a_{n-1}=(n-1)b_{n-1} $$

であるから、

$$ a_n=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

となる。

ここに

$$ b_n=b_1+(n-1)d,\qquad b_{n-1}=b_1+(n-2)d $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=n{b_1+(n-1)d}-(n-1){b_1+(n-2)d} \\ &={n-(n-1)}b_1+{n(n-1)-(n-1)(n-2)}d \\ &=b_1+2(n-1)d \end{aligned} $$

である。

また $n=1$ のときは、$b_1=a_1$ であり、

$$ b_1+2(1-1)d=b_1=a_1 $$

なので同じ式が成り立つ。

したがって、

$$ a_n=b_1+2(n-1)d $$

である。

(ii)

（i） より、

$$ a_n=b_1+2(n-1)d $$

である。

したがって、

$$ a_{n+1}-a_n ={b_1+2nd}-{b_1+2(n-1)d} =2d $$

となり、差が一定である。

よって、${a_n}$ は公差 $2d$ の等差数列である。

(3)

${b_n}$ が等差数列であるから、初項を $b_1$、公差を $d$ とおくと、

$$ b_n=b_1+(n-1)d $$

である。

与えられた条件より、

$$ \sum_{k=1}^{5}b_{2k-1}=b_1+b_3+b_5+b_7+b_9=65 $$

である。各項は

$$ b_1,\ b_1+2d,\ b_1+4d,\ b_1+6d,\ b_1+8d $$

だから、

$$ 5b_1+20d=65 $$

すなわち

$$ b_1+4d=13 $$

である。

また、

$$ \sum_{k=1}^{5}b_{2k}=b_2+b_4+b_6+b_8+b_{10}=75 $$

である。各項は

$$ b_1+d,\ b_1+3d,\ b_1+5d,\ b_1+7d,\ b_1+9d $$

だから、

$$ 5b_1+25d=75 $$

すなわち

$$ b_1+5d=15 $$

である。

よって

$$ \begin{cases} b_1+4d=13 \\ b_1+5d=15 \end{cases} $$

より、

$$ d=2,\qquad b_1=5 $$

である。

(2) の結果より、

$$ a_n=b_1+2(n-1)d $$

であるから、

$$ a_n=5+2(n-1)\cdot 2 $$

となる。したがって、

$$ a_n=4n+1 $$

である。

解説

この問題の中心は、平均として定義された $b_n$ をそのまま扱うのではなく、

$$ a_1+\cdots+a_n=nb_n $$

と和に直して考える点である。

特に

$$ a_n=nb_n-(n-1)b_{n-1} $$

という関係を使うと、$b_n$ の等差性から $a_n$ の一般項が直接求まる。

(1) では、等差数列の和の公式を使えば、平均 $b_n$ が初項と第 $n$ 項の平均になるため、$b_n$ も等差数列になることが分かる。

(2) はこの問題全体の核であり、(3) はその結果を使って $b_1$ と公差 $d$ を決定するだけでよい。

答え

(1)

${a_n}$ が等差数列ならば、${b_n}$ も等差数列である。

(2)

(i)

$$ a_n=b_1+2(n-1)d $$

(ii)

${a_n}$ は公差 $2d$ の等差数列である。

(3)

$$ a_n=4n+1 $$