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数学B 階差数列問題 1 解説

方針・初手

隣り合う項の差を調べると、差が等差数列になっている。したがって、一般項は $n$ の2次式で表せると考えるのが自然である。

解法1

与えられた数列を

$$ 4,\ 7,\ 14,\ 25,\ 40,\ 59,\ \cdots $$

とする。

隣り合う項の差をとると、

$$ 7-4=3,\quad 14-7=7,\quad 25-14=11,\quad 40-25=15,\quad 59-40=19 $$

である。したがって階差数列は

$$ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \cdots $$

となり、公差 $4$ の等差数列である。

よって、

$$ a_{n+1}-a_n=4n-1 $$

である。

したがって、$n\geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} a_n &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\ &=4+\sum_{k=1}^{n-1}(4k-1)\\ &=4+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)\\ &=4+2n(n-1)-n+1\\ &=2n^2-3n+5 \end{aligned} $$

となる。

この式は $n=1$ のときも

$$ 2\cdot 1^2-3\cdot 1+5=4 $$

となり成り立つ。よって一般項は

$$ a_n=2n^2-3n+5 $$

である。

次に、第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}a_k\\ &=\sum_{k=1}^{n}(2k^2-3k+5)\\ &=2\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+5n \end{aligned} $$

ここで、

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S_n &=2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} -\frac{3n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{2n(n+1)(2n+1)-9n(n+1)+30n}{6}\\ &=\frac{n{2(n+1)(2n+1)-9(n+1)+30}}{6}\\ &=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6} \end{aligned} $$

したがって、

$$ S_n=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6} $$

である。

解法2

この数列の階差の階差を調べる。

$$ \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 14 & 25 & 40 & 59 \\ & 3 & 7 & 11 & 15 & 19 \\ & & 4 & 4 & 4 & 4 \end{array} $$

第2階差が一定であるから、一般項は $n$ の2次式

$$ a_n=pn^2+qn+r $$

とおける。

$a_1=4,\ a_2=7,\ a_3=14$ より、

$$ \begin{cases} p+q+r=4\\ 4p+2q+r=7\\ 9p+3q+r=14 \end{cases} $$

である。

上から順に差をとると、

$$ 3p+q=3,\qquad 5p+q=7 $$

となる。これらを引いて、

$$ 2p=4 $$

より、

$$ p=2 $$

である。

さらに、

$$ 3p+q=3 $$

より、

$$ 6+q=3 $$

だから、

$$ q=-3 $$

である。

最後に、

$$ p+q+r=4 $$

へ代入して、

$$ 2-3+r=4 $$

より、

$$ r=5 $$

となる。

よって、

$$ a_n=2n^2-3n+5 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}(2k^2-3k+5)\\ &=2\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+5n\\ &=2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6} \end{aligned} $$

である。