数学B 階差数列 問題 2 解説

方針・初手

等比数列では中央の項の平方が両端の積に等しいことを使う。また、階差数列は $b_{n+1}-b_n$ で定義されるので、一般項は初項に階差の和を加えて求める。

解法1

(1)

$4,a,b$ が等比数列であるから、

$$ a^2=4b $$

より、

$$ b=\frac{a^2}{4} $$

である。

また、$b,c,36$ が等比数列であるから、

$$ c^2=36b $$

である。これに $b=\dfrac{a^2}{4}$ を代入すると、

$$ c^2=36\cdot \frac{a^2}{4}=9a^2 $$

となる。したがって、

$$ c=\pm 3a $$

である。

さらに、$a,b,c$ は等差数列であるから、

$$ 2b=a+c $$

が成り立つ。

(i)

$c=3a$ のとき

$$ 2\cdot \frac{a^2}{4}=a+3a $$

より、

$$ \frac{a^2}{2}=4a $$

である。$a>0$ なので両辺を $a$ で割って、

$$ a=8 $$

を得る。このとき、

$$ b=\frac{8^2}{4}=16,\qquad c=3\cdot 8=24 $$

である。

(ii)

$c=-3a$ のとき

$$ 2\cdot \frac{a^2}{4}=a-3a $$

より、

$$ \frac{a^2}{2}=-2a $$

となる。$a>0$ のもとでは左辺は正、右辺は負であり、成り立たない。

したがって、

$$ a=8,\qquad b=16,\qquad c=24 $$

である。

(2)

（1） より $a=8$ である。

数列 ${a_n}$ は $a_1=4,\ a_2=8$ の等比数列であるから、公比は

$$ \frac{a_2}{a_1}=2 $$

である。よって、

$$ a_n=4\cdot 2^{n-1} $$

である。

数列 ${b_n}$ の階差数列が ${a_n}$ に等しいので、

$$ b_{n+1}-b_n=a_n $$

である。したがって、$n\geq 2$ のとき、

$$ b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_k $$

となる。ここで $b_1=4$ であるから、

$$ \begin{aligned} b_n &=4+\sum_{k=1}^{n-1}4\cdot 2^{k-1} \\ &=4+4\left(2^{n-1}-1\right) \\ &=4\cdot 2^{n-1} \end{aligned} $$

である。この式は $n=1$ のときも $b_1=4$ を与えるので、すべての自然数 $n$ について

$$ b_n=4\cdot 2^{n-1} $$

である。

(3)

数列 ${p_n}$ の階差数列が元の数列 ${p_n}$ と等しいので、

$$ p_{n+1}-p_n=p_n $$

である。したがって、

$$ p_{n+1}=2p_n $$

となる。

初項が $p$ であるから、

$$ p_1=p $$

であり、${p_n}$ は初項 $p$、公比 $2$ の等比数列である。よって、

$$ p_n=p\cdot 2^{n-1} $$

である。

解説

この問題では、等比数列と階差数列の基本性質を正確に使うことが重要である。

（1） では、$4,a,b$ と $b,c,36$ が等比数列であることから、それぞれ中央の項の平方を使って関係式を作る。ただし、$c^2=9a^2$ から $c=3a$ だけでなく $c=-3a$ も出るため、場合分けを落としてはいけない。

（2） では、階差数列が ${a_n}$ であることを

$$ b_{n+1}-b_n=a_n $$

と置き換え、初項に階差の和を加える。階差数列の問題では、和を取る範囲が $1$ から $n-1$ までである点に注意する。

（3） では、「階差数列が元の数列に等しい」という条件を

$$ p_{n+1}-p_n=p_n $$

と立式すれば、すぐに等比数列に帰着する。

答え

(1)

$$ a=8,\qquad b=16,\qquad c=24 $$

(2)

$$ b_n=4\cdot 2^{n-1} $$

(3)

$$ p_n=p\cdot 2^{n-1} $$