数学B 階差数列 問題 3 解説

方針・初手

並んでいる項の差に注目する。$0,4,10,18,\cdots$ の差は $4,6,8,\cdots$ となっており、差が $2$ ずつ増える数列であると見られる。したがって第 $n$ 項は $n$ の2次式として求めるのが自然である。

解法1

数列を $a_n$ とする。

与えられた項から、第 $3$ 項以降について

$$ a_3=0,\quad a_4=4,\quad a_5=10,\quad a_6=18 $$

である。隣り合う項の差をとると、

$$ 4-0=4,\quad 10-4=6,\quad 18-10=8 $$

となり、公差が $2$ ずつ増えている。

したがって第 $n$ 項は2次式と考え、

$$ a_n=an^2+bn+c $$

とおく。

$a_1=-2,\ a_3=0,\ a_4=4$ より、

$$ \begin{aligned} a+b+c&=-2,\\ 9a+3b+c&=0,\\ 16a+4b+c&=4 \end{aligned} $$

である。

第2式から第1式を引くと、

$$ 8a+2b=2 $$

より、

$$ 4a+b=1 $$

である。

また、第3式から第2式を引くと、

$$ 7a+b=4 $$

である。

これらを引き算すると、

$$ 3a=3 $$

より、

$$ a=1 $$

である。よって

$$ 4a+b=1 $$

に代入して、

$$ 4+b=1 $$

だから、

$$ b=-3 $$

である。

さらに

$$ a+b+c=-2 $$

より、

$$ 1-3+c=-2 $$

なので、

$$ c=0 $$

である。

したがって一般項は

$$ a_n=n^2-3n $$

である。

これより、

$$ a_2=2^2-3\cdot2=4-6=-2 $$

だから、

$$ [\text{ア}]=-2 $$

である。

また、

$$ a_7=7^2-3\cdot7=49-21=28 $$

だから、

$$ [\text{イ}]=28 $$

である。

次に、第 $[\text{ウ}]$ 項が $108$ であるから、

$$ n^2-3n=108 $$

を解けばよい。

$$ n^2-3n-108=0 $$

より、

$$ (n-12)(n+9)=0 $$

である。

$n$ は正の整数なので、

$$ n=12 $$

である。したがって、

$$ [\text{ウ}]=12 $$

である。

最後に、最初の $20$ 項の和を求める。

$$ \sum_{n=1}^{20} a_n=\sum_{n=1}^{20}(n^2-3n) $$

であるから、

$$ \sum_{n=1}^{20}(n^2-3n)=\sum_{n=1}^{20}n^2-3\sum_{n=1}^{20}n $$

となる。

公式

$$ \sum_{n=1}^{20}n^2=\frac{20\cdot21\cdot41}{6}=2870 $$

および

$$ \sum_{n=1}^{20}n=\frac{20\cdot21}{2}=210 $$

を用いると、

$$ \sum_{n=1}^{20}a_n=2870-3\cdot210=2870-630=2240 $$

である。

したがって、

$$ [\text{エ}]=2240 $$

である。

解説

この数列は、隣り合う項の差が一定ではなく、差の差が一定になる数列である。このような数列では一般項が2次式になる。

実際に

$$ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ 10,\ 18,\ 28,\ 40,\cdots $$

と並び、差は

$$ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\cdots $$

となる。したがって一般項を $a_n=n^2-3n$ と求めれば、空欄も和も一括して処理できる。

答え

$$ [\text{ア}]=-2,\quad [\text{イ}]=28,\quad [\text{ウ}]=12,\quad [\text{エ}]=2240 $$