数学B 群数列 問題 1 解説

方針・初手

各群に含まれる個数は、第 $n$ 群で $3^{n-1}$ 個である。したがって、第 $n$ 群の最初の数は、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までに含まれる数の個数を足し上げれば求められる。

また、$5000$ がどの群に属するかは、各群の終わりの数を累積和で調べればよい。

解法1

第 $n$ 群に含まれる数の個数は $3^{n-1}$ 個である。

したがって、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までに含まれる数の個数は

$$ 1+3+3^2+\cdots+3^{n-2} $$

である。これは等比数列の和より

$$ \begin{aligned} 1+3+3^2+\cdots+3^{n-2} &= \frac{3^{n-1}-1}{3-1} \\ \frac{3^{n-1}-1}{2} \end{aligned} $$

である。

よって、第 $n$ 群の最初の数は、その次の数だから

$$ \begin{aligned} \frac{3^{n-1}-1}{2}+1 &= \frac{3^{n-1}+1}{2} \end{aligned} $$

である。

次に、$5000$ がどの群にあるかを調べる。

第 $k$ 群までに含まれる数の個数は

$$ \begin{aligned} 1+3+3^2+\cdots+3^{k-1} &= \frac{3^k-1}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって、$5000$ が第 $n$ 群にあるためには

$$ \frac{3^{n-1}-1}{2}<5000\leqq \frac{3^n-1}{2} $$

を満たせばよい。

ここで

$$ 3^8=6561,\qquad 3^9=19683 $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{3^8-1}{2} &= \frac{6561-1}{2} \\ 3280 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{3^9-1}{2} &= \frac{19683-1}{2} \\ 9841 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ 3280<5000\leqq 9841 $$

となるので、$5000$ は第 $9$ 群にある。

第 $9$ 群の最初の数は

$$ \begin{aligned} \frac{3^8+1}{2} &= \frac{6561+1}{2} \\ 3281 \end{aligned} $$

である。

したがって、$5000$ は第 $9$ 群の中で

$$ 5000-3281+1=1720 $$

番目にある。

解説

この問題では、「第 $n$ 群に $3^{n-1}$ 個の数がある」という条件から、群の区切りを累積和で表すことが重要である。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $n-1$ 群までに出てきた数の総数に $1$ を加えればよい。また、ある数がどの群に属するかは、「直前の群までの最後の数」と「その群までの最後の数」の間にあるかを調べる。

答え

(1)

第 $n$ 群の最初の数は

$$ \frac{3^{n-1}+1}{2} $$

(2)

$5000$ は第 $9$ 群の第 $1720$ 番目にある。