数学B 群数列 問題 2 解説

方針・初手

各行に並ぶ個数が $1,2,3,\ldots$ と増えているので、$n$ 行目の左端の数は「その前までに何個の奇数が並んでいるか」から求める。

奇数列 $1,3,5,\ldots$ の第 $k$ 番目は $2k-1$ であることを使う。

解法1

$n$ 行目の前には、$1$ 行目から $n-1$ 行目までの数が並んでいる。その個数は

$$ 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

したがって、$n$ 行目の左端の数は、奇数列全体の

$$ \frac{n(n-1)}{2}+1 $$

番目の奇数である。

奇数列の第 $k$ 番目の数は $2k-1$ だから、$n$ 行目の左端の数は

$$ 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-1 =n(n-1)+1 $$

である。よって

$$ n^2-n+1 $$

と表せる。

次に、$1987$ が奇数列全体で何番目かを求める。奇数列の第 $k$ 番目が $1987$ であるとすると、

$$ 2k-1=1987 $$

より、

$$ k=994 $$

である。

したがって、$1987$ は奇数列全体の $994$ 番目である。

$n$ 行目までに並ぶ数の個数は

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

である。ここで、

$$ \frac{44\cdot45}{2}=990,\qquad \frac{45\cdot46}{2}=1035 $$

だから、$994$ 番目の数は $45$ 行目にある。

また、$44$ 行目までに $990$ 個あるので、$45$ 行目の左端から数えると

$$ 994-990=4 $$

番目である。

最後に、$1987$ がある $45$ 行目の数の総和を求める。

$45$ 行目の左端の数は

$$ 45^2-45+1=1981 $$

である。

$45$ 行目には $45$ 個の奇数が並ぶので、右端の数は

$$ 1981+2(45-1)=2069 $$

である。

したがって、$45$ 行目の数の総和は、初項 $1981$、末項 $2069$、項数 $45$ の等差数列の和だから、

$$ \frac{45(1981+2069)}{2} =45\cdot2025 =91125 $$

である。

解説

この問題では、各行の個数が $1,2,3,\ldots$ と増えている点に注目する。行番号と奇数列全体での番号を結びつけるには、三角数

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

を使うのが自然である。

$1987$ がどの行にあるかを直接探すのではなく、まず奇数列全体で何番目かを求め、その番号がどの三角数の間に入るかを調べるとよい。

答え

(1)

$$ n^2-n+1 $$

(2)

$45$ 行目の左端から $4$ 番目。

(3)

$$ 91125 $$