数学B 群数列 問題 11 解説

方針・初手

5の倍数でない自然数は、各正整数 $n$ について

$$ 5n-4,\ 5n-3,\ 5n-2,\ 5n-1 $$

の4個ずつに自然に分かれている。したがって、第 $n$ 群を具体的に書き下し、その和と、3の倍数の入り方を調べればよい。

解法1

第 $n$ 群は

$$ 5n-4,\ 5n-3,\ 5n-2,\ 5n-1 $$

である。

（1） 第 $n$ 群に入るすべての数の和を $S_n$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_n &=(5n-4)+(5n-3)+(5n-2)+(5n-1)\\ &=20n-10 \end{aligned} $$

である。よって、第 $n$ 群に入るすべての数の和は

$$ 20n-10 $$

である。

（2） 第 $n$ 群に3の倍数が2つ入る条件を調べる。

第 $n$ 群は4個の連続する整数

$$ 5n-4,\ 5n-3,\ 5n-2,\ 5n-1 $$

からなる。4個の連続する整数の中には、3の倍数が1つまたは2つ入る。

3の倍数が2つ入るのは、4個のうち1番目と4番目がともに3の倍数になる場合である。したがって、

$$ 5n-4 \equiv 0 \pmod{3} $$

であればよい。

ここで $5 \equiv 2 \pmod{3}$ だから、

$$ 5n-4 \equiv 2n-1 \pmod{3} $$

である。よって

$$ 2n-1 \equiv 0 \pmod{3} $$

となる。

これは

$$ 2n \equiv 1 \pmod{3} $$

であり、$2 \equiv -1 \pmod{3}$ より

$$ n \equiv 2 \pmod{3} $$

である。

したがって、第 $n$ 群に3の倍数が2つ入るような $n$ は

$$ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ \cdots $$

となる。これは初項 $2$、公差 $3$ の等差数列である。

（3） 第1群から第30群のうち、3の倍数が2つ入る群は、（2） より

$$ n=2,\ 5,\ 8,\ \cdots,\ 29 $$

のときである。

これは初項 $2$、末項 $29$、公差 $3$ の等差数列であり、項数は

$$ \frac{29-2}{3}+1=10 $$

である。

第1群から第30群までのすべての群の和は、（1） より

$$ \sum_{n=1}^{30}(20n-10) $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{30}(20n-10) &=20\sum_{n=1}^{30}n-10\cdot 30\\ &=20\cdot \frac{30\cdot 31}{2}-300\\ &=9300-300\\ &=9000 \end{aligned} $$

である。

次に、3の倍数が2つ入る群の和を求める。対応する $n$ の和は

$$ 2+5+8+\cdots+29 $$

であり、

$$ \frac{10(2+29)}{2}=155 $$

である。

したがって、3の倍数が2つ入る群に含まれる数すべての和は

$$ \begin{aligned} \sum (20n-10) &=20\cdot 155-10\cdot 10\\ &=3100-100\\ &=3000 \end{aligned} $$

である。

求めるのは、3の倍数がちょうど1つ入る群に含まれる数すべての和であるから、

$$ 9000-3000=6000 $$

である。

解説

この問題では、「5の倍数でない自然数を4個ずつ区切る」という条件から、第 $n$ 群を

$$ 5n-4,\ 5n-3,\ 5n-2,\ 5n-1 $$

と表せることが重要である。

また、3の倍数の個数を直接数え上げるのではなく、合同式を用いて「3の倍数が2つ入る群」を先に特定すると処理が簡潔になる。4個の連続する整数には3の倍数が1つまたは2つ入るため、「ちょうど1つ入る群」は「2つ入る群以外」と考えるのが効率的である。

答え

(1)

$$ 20n-10 $$

(2)

第 $n$ 群に3の倍数が2つ入るような $n$ は

$$ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ \cdots $$

であり、初項 $2$、公差 $3$ の等差数列である。

(3)

$$ 6000 $$