数学B 群数列 問題 10 解説

方針・初手

各群に含まれる個数が $1,2,3,\ldots$ と増えていくので、第 $n$ 群の前までに何個の奇数が並んでいるかを数える。第 $n$ 群の最初の数は、「奇数列全体の何番目か」を使って求めるのが基本である。

解法1

奇数列

$$ 1,3,5,\ldots $$

の第 $k$ 項は

$$ 2k-1 $$

である。

第 $n$ 群の前には、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までがあるので、そこに含まれる奇数の個数は

$$ 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列全体で

$$ \frac{n(n-1)}{2}+1 $$

番目の奇数である。よって、その値は

$$ 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-1=n(n-1)+1 $$

となる。

（1） 第 $10$ 群の最初の数は

$$ 10\cdot 9+1=91 $$

である。

次に、第 $n$ 群の最後の数を求める。第 $n$ 群には $n$ 個の奇数があり、公差は $2$ であるから、最後の数は

$$ n(n-1)+1+2(n-1)=n^2+n-1 $$

である。

したがって、第 $n$ 群の和は

$$ \frac{n{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)}}{2} $$

である。これを整理すると

$$ \frac{n\cdot 2n^2}{2}=n^3 $$

となる。

（2） 第 $8$ 群の数の和は

$$ 8^3=512 $$

である。

(3)

$999$ が奇数列全体で何番目の数かを求める。

$$ 999=2k-1 $$

とおくと、

$$ 2k=1000 $$

より

$$ k=500 $$

である。つまり、$999$ は奇数列全体の第 $500$ 項である。

第 $n$ 群までに含まれる奇数の個数は

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

であるから、

$$ \frac{31\cdot 32}{2}=496,\qquad \frac{32\cdot 33}{2}=528 $$

である。

よって、第 $31$ 群までで $496$ 個、第 $32$ 群までで $528$ 個の奇数が含まれる。したがって、第 $500$ 項である $999$ は第 $32$ 群に入る。

第 $32$ 群の中での番号は

$$ 500-496=4 $$

である。

したがって、$999$ は第 $32$ 群の第 $4$ 番目の数である。

解説

この問題では、各群を直接書き出すのではなく、「第 $n$ 群の前までに何個の数があるか」を考えることが重要である。

第 $n$ 群の最初の数は、奇数列全体における項番号から求めると扱いやすい。また、第 $n$ 群の和が $n^3$ になることを導くと、群の和の計算も簡単になる。

$999$ の位置を求めるときは、まず奇数列全体で何番目かを求め、その項番号がどの群の範囲に入るかを調べる。

答え

(1)

第 $10$ 群の最初の数は

$$ 91 $$

(2)

第 $8$ 群の数の和は

$$ 512 $$

(3)

$999$ は

$$ \text{第 }32\text{ 群の第 }4\text{ 番目} $$

である。