数学B 数学的帰納法 問題 1 解説

方針・初手

数学的帰納法では、$n=1$ の成立を確認したあと、$n=k$ で成立すると仮定して $n=k+1$ での成立を示す。

帰納法の途中では、

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k} $$

を利用し、そこに $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$ を加えたものが $\sqrt{k+1}$ 以上になることを示せばよい。

解法1

まず、$n=1$ のとき、

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}=1,\qquad \sqrt{1}=1 $$

であるから、

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}\geq \sqrt{1} $$

が成り立つ。

次に、ある正の整数 $k$ に対して

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k} $$

が成り立つと仮定する。

このとき、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} &\geq \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{aligned} $$

である。

したがって、右辺が $\sqrt{k+1}$ 以上であることを示せばよい。すなわち、

$$ \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1} $$

を示せばよい。

これは次のように変形できる。

$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $$

ここで、

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} =\frac{(k+1)-k}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} =\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $$

である。

また、$k$ は正の整数であるから $\sqrt{k}>0$ であり、

$$ \sqrt{k+1}+\sqrt{k}>\sqrt{k+1} $$

が成り立つ。したがって、正の数の逆数の大小関係より、

$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k+1}} $$

である。

よって、

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\frac{1}{\sqrt{k+1}} $$

となるから、

$$ \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1} $$

が成り立つ。

したがって、

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1} $$

である。

以上より、$n=1$ で成立し、$n=k$ で成立すると仮定すれば $n=k+1$ でも成立する。

ゆえに数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n} $$

が成り立つ。

解説

帰納法の核心は、仮定から

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k} $$

まではすぐに使えるが、そこから $\sqrt{k+1}$ まで届くかを確認する点にある。

そのためには、追加される項 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$ が、$\sqrt{k}$ から $\sqrt{k+1}$ までの増加分

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $$

以上であることを示せばよい。

この増加分は有理化によって

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} =\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $$

と表せる。この形にすると、分母が $\sqrt{k+1}$ より大きいので、

$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k+1}} $$

がすぐに分かる。

したがって、帰納法の一段階が成立する。

答え

すべての正の整数 $n$ に対して、

$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n} $$

が成り立つ。