数学B 数学的帰納法 問題 17 解説

方針・初手

(1) は、左辺を $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$ とおき、$n=1$ の成立と、$n$ で成立すると仮定したとき $n+1$ でも成立することを示す。

(2) は、上から $k$ 段目のボールの数が三角数

$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

であることを用いる。したがって、15段全体の個数はその和として求められる。

解法1

まず (1) を数学的帰納法で証明する。

命題 $P(n)$ を

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $$

とする。

(i) $n=1$ のとき

左辺は

$$ \sum_{k=1}^{1}k(k+1)=1\cdot 2=2 $$

である。一方、右辺は

$$ \frac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2 $$

である。よって $n=1$ のとき成り立つ。

(ii) $n$ で成り立つと仮定する

ある自然数 $n$ について

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k(k+1) &=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)+(n+1)(n+2)\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)\\ &=(n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3}+1\right)\\ &=(n+1)(n+2)\frac{n+3}{3}\\ &=\frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3) \end{aligned} $$

となる。これは、命題 $P(n+1)$ が成り立つことを示している。

以上より、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $$

が成り立つ。

次に (2) を求める。

上から $k$ 段目には、図のように三角形状にボールが並ぶので、その個数は

$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

である。

したがって、15段に積まれたボールの総数は

$$ \sum_{k=1}^{15}\frac{k(k+1)}{2} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{15}\frac{k(k+1)}{2} &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{15}k(k+1)\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 15\cdot 16\cdot 17\\ &=\frac{15\cdot 16\cdot 17}{6}\\ &=5\cdot 8\cdot 17\\ &=680 \end{aligned} $$

よって、15段の三角錐状に積まれたボールの総数は $680$ 個である。

解説

(1) は典型的な数学的帰納法の問題である。重要なのは、$n+1$ までの和を考えるときに、$n$ までの和に新しく加わる項 $(n+1)(n+2)$ を足すことである。

(2) では、各段のボールの数が三角数になっていることに気づく必要がある。上から $1$ 段目は $1$ 個、$2$ 段目は $1+2=3$ 個、$3$ 段目は $1+2+3=6$ 個であるから、$k$ 段目は $\dfrac{k(k+1)}{2}$ 個である。

したがって、全体は

$$ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{15}k(k+1) $$

となり、(1) で証明した公式をそのまま利用できる。

答え

(1)

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $$

は、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について成り立つ。

(2)

$$ 680 $$

個である。