数学B 数学的帰納法 問題 18 解説

方針・初手

左辺 $2^n$ は $n$ が $1$ 増えると倍になる。一方、右辺 $3n+4$ は $3$ だけ増える。したがって、最初に成り立つ値を確認し、その後は数学的帰納法で示すのが自然である。

解法1

$n \geqq 4$ を満たす整数 $n$ に対して

$$ 2^n \geqq 3n+4 $$

が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

まず $n=4$ のとき、

$$ 2^4=16,\qquad 3\cdot 4+4=16 $$

であるから、

$$ 2^4 \geqq 3\cdot 4+4 $$

は成り立つ。

次に、$k \geqq 4$ とし、$n=k$ のときに

$$ 2^k \geqq 3k+4 $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ 2^{k+1}=2\cdot 2^k $$

であるから、帰納法の仮定より

$$ 2^{k+1} \geqq 2(3k+4) =6k+8 $$

となる。

ここで、示すべき不等式は

$$ 2^{k+1} \geqq 3(k+1)+4 $$

すなわち

$$ 2^{k+1} \geqq 3k+7 $$

である。

実際、

$$ 6k+8-(3k+7)=3k+1 $$

であり、$k \geqq 4$ だから

$$ 3k+1>0 $$

である。よって

$$ 6k+8 \geqq 3k+7 $$

が成り立つ。

したがって、

$$ 2^{k+1} \geqq 6k+8 \geqq 3k+7=3(k+1)+4 $$

となり、$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての整数 $n \geqq 4$ に対して

$$ 2^n \geqq 3n+4 $$

が成り立つ。

解法2

左辺と右辺の差を

$$ a_n=2^n-3n-4 $$

とおく。示すべきことは、$n \geqq 4$ に対して

$$ a_n \geqq 0 $$

を示すことである。

まず、

$$ a_4=2^4-3\cdot 4-4=16-12-4=0 $$

である。

次に、隣り合う項の差を調べると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &={2^{n+1}-3(n+1)-4}-(2^n-3n-4) \\ &=2^{n+1}-2^n-3 \\ &=2^n-3 \end{aligned} $$

である。

$n \geqq 4$ ならば $2^n \geqq 16$ であるから、

$$ a_{n+1}-a_n=2^n-3>0 $$

となる。したがって、数列 $a_n$ は $n \geqq 4$ において増加する。

$a_4=0$ であり、そこから増加するので、すべての整数 $n \geqq 4$ に対して

$$ a_n \geqq 0 $$

である。よって、

$$ 2^n-3n-4 \geqq 0 $$

すなわち

$$ 2^n \geqq 3n+4 $$

が成り立つ。

解説

この問題では、指数関数 $2^n$ と一次式 $3n+4$ の増え方の違いに注目することが重要である。$n=4$ では両辺が等しく、その後は $2^n$ の増加が $3n+4$ の増加を上回るため、不等式が保たれる。

解法1は標準的な数学的帰納法であり、証明問題として最も基本的である。解法2は、左辺と右辺の差を数列として扱い、その差が増加することを示す方法である。

答え

すべての整数 $n \geqq 4$ に対して、

$$ 2^n \geqq 3n+4 $$

が成り立つ。