数学B 数学的帰納法 問題 20 解説

方針・初手

数学的帰納法で示す。$n=1$ のときに成り立つことを確認し、$n=k$ のとき

$$ 2^{3k-2}+3^k $$

が $5$ の倍数であると仮定して、$n=k+1$ のときも $5$ の倍数になることを示す。

解法1

命題 $P(n)$ を

$$ 2^{3n-2}+3^n \text{ は }5\text{ の倍数である} $$

とする。

まず $n=1$ のとき、

$$ 2^{3\cdot 1-2}+3^1=2^1+3=5 $$

であるから、これは $5$ の倍数である。よって $P(1)$ は成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ に対して $P(k)$ が成り立つと仮定する。すなわち、

$$ 2^{3k-2}+3^k $$

は $5$ の倍数であると仮定する。

このとき、$n=k+1$ の場合を考えると、

$$ \begin{aligned} 2^{3(k+1)-2}+3^{k+1} &=2^{3k+1}+3^{k+1} \\ &=8\cdot 2^{3k-2}+3\cdot 3^k \end{aligned} $$

である。ここで帰納法の仮定を使える形にするため、

$$ \begin{aligned} 8\cdot 2^{3k-2}+3\cdot 3^k &=3\left(2^{3k-2}+3^k\right)+5\cdot 2^{3k-2} \end{aligned} $$

と変形する。

帰納法の仮定より、$2^{3k-2}+3^k$ は $5$ の倍数である。したがって、

$$ 3\left(2^{3k-2}+3^k\right) $$

も $5$ の倍数である。また、

$$ 5\cdot 2^{3k-2} $$

も $5$ の倍数である。

よって、その和である

$$ 2^{3(k+1)-2}+3^{k+1} $$

も $5$ の倍数である。したがって $P(k+1)$ が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ 2^{3n-2}+3^n $$

は $5$ の倍数である。

解説

帰納法の仮定は $2^{3k-2}+3^k$ が $5$ の倍数であるという形なので、$n=k+1$ の式をこの形を含むように変形することが重要である。

特に、

$$ 2^{3(k+1)-2}=2^{3k+1}=8\cdot 2^{3k-2} $$

となるため、

$$ 8\cdot 2^{3k-2}+3\cdot 3^k $$

をそのまま扱うのではなく、

$$ 3\left(2^{3k-2}+3^k\right)+5\cdot 2^{3k-2} $$

と分解する。これにより、帰納法の仮定で $5$ の倍数と分かっている部分と、明らかに $5$ の倍数である部分に分けられる。

答え

すべての自然数 $n$ について、

$$ 2^{3n-2}+3^n $$

は $5$ の倍数である。