数学B 数学的帰納法 問題 19 解説

方針・初手

$n>3$ である自然数 $n$ について示すので、まず最小の場合 $n=4$ を確認する。

そのうえで、ある $k \geqq 4$ で $k!>2^k$ が成り立つと仮定し、$(k+1)!>2^{k+1}$ を導く。

解法1

まず、$n=4$ のとき、

$$ 4!=24,\qquad 2^4=16 $$

であるから、

$$ 4!>2^4 $$

が成り立つ。

次に、$k \geqq 4$ とし、

$$ k!>2^k $$

が成り立つと仮定する。

このとき、

$$ (k+1)!=(k+1)k! $$

である。帰納法の仮定より $k!>2^k$ だから、

$$ (k+1)!=(k+1)k!>(k+1)2^k $$

である。

また、$k \geqq 4$ より $k+1 \geqq 5$ であり、特に

$$ k+1>2 $$

である。したがって、

$$ (k+1)2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1} $$

となる。

よって、

$$ (k+1)!>2^{k+1} $$

が成り立つ。

以上より、$n=4$ で成り立ち、$n=k$ で成り立つならば $n=k+1$ でも成り立つことが示された。

数学的帰納法により、すべての自然数 $n>3$ について

$$ n!>2^n $$

が成り立つ。

解説

この問題では、階乗の関係

$$ (k+1)!=(k+1)k! $$

を使うことが要点である。

帰納法の仮定 $k!>2^k$ を利用すると、$(k+1)!$ は $(k+1)2^k$ より大きいことが分かる。あとは、$k \geqq 4$ なら $k+1>2$ であることから、$(k+1)2^k>2^{k+1}$ が従う。

初項を $n=4$ から確認する点を落とさないことが重要である。

答え

すべての自然数 $n>3$ について、

$$ n!>2^n $$

が成り立つ。