数学B 数学的帰納法 問題 30 解説

方針・初手

与えられた漸化式は分数式であるが、実際に $a_2,a_3,a_4$ を計算すると分子に $n\alpha$、分母に $1-(n-1)\alpha$ が現れる形が見える。

したがって、まず具体的に数項を計算し、

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} $$

を予想する。その後、数学的帰納法で確認する。

解法1

まず $a_1=\alpha$ より、

$$ a_2=\frac{(2\alpha+1)\alpha+\alpha}{1-\alpha^2} $$

である。分子と分母を整理すると、

$$ a_2=\frac{2\alpha^2+2\alpha}{1-\alpha^2} =\frac{2\alpha(\alpha+1)}{(1-\alpha)(1+\alpha)} =\frac{2\alpha}{1-\alpha} $$

となる。ここで $\alpha$ は無理数なので、特に $\alpha\ne -1$ であり、約分に問題はない。

次に、

$$ a_3 =\frac{(2\alpha+1)a_2+\alpha}{1-\alpha a_2} $$

に $a_2=\dfrac{2\alpha}{1-\alpha}$ を代入する。

分子は

$$ \begin{aligned} (2\alpha+1)\frac{2\alpha}{1-\alpha}+\alpha &= \frac{2\alpha(2\alpha+1)+\alpha(1-\alpha)}{1-\alpha} \\ \frac{3\alpha^2+3\alpha}{1-\alpha} \\ \frac{3\alpha(\alpha+1)}{1-\alpha} \end{aligned} $$

であり、分母は

$$ \begin{aligned} 1-\alpha\cdot\frac{2\alpha}{1-\alpha} &= \frac{1-\alpha-2\alpha^2}{1-\alpha} \\ \frac{(1-2\alpha)(1+\alpha)}{1-\alpha} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} a_3 &= \frac{3\alpha(\alpha+1)}{(1-2\alpha)(1+\alpha)} \\ \frac{3\alpha}{1-2\alpha} \end{aligned} $$

となる。

さらに、

$$ \begin{aligned} a_4 &= \frac{(2\alpha+1)a_3+\alpha}{1-\alpha a_3} \end{aligned} $$

に $a_3=\dfrac{3\alpha}{1-2\alpha}$ を代入する。

分子は

$$ \begin{aligned} (2\alpha+1)\frac{3\alpha}{1-2\alpha}+\alpha &= \frac{3\alpha(2\alpha+1)+\alpha(1-2\alpha)}{1-2\alpha} \\ \frac{4\alpha^2+4\alpha}{1-2\alpha} \\ \frac{4\alpha(\alpha+1)}{1-2\alpha} \end{aligned} $$

であり、分母は

$$ \begin{aligned} 1-\alpha\cdot\frac{3\alpha}{1-2\alpha} &= \frac{1-2\alpha-3\alpha^2}{1-2\alpha} \\ \frac{(1-3\alpha)(1+\alpha)}{1-2\alpha} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_4 &= \frac{4\alpha(\alpha+1)}{(1-3\alpha)(1+\alpha)} \\ \frac{4\alpha}{1-3\alpha} \end{aligned} $$

となる。

以上から、

$$ a_1=\frac{\alpha}{1},\quad a_2=\frac{2\alpha}{1-\alpha},\quad a_3=\frac{3\alpha}{1-2\alpha},\quad a_4=\frac{4\alpha}{1-3\alpha} $$

となるので、一般項は

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} $$

と予想される。

これを数学的帰納法で証明する。

まず $n=1$ のとき、

$$ \frac{1\cdot\alpha}{1-(1-1)\alpha}=\alpha $$

であるから、公式は成り立つ。

次に、ある自然数 $n$ に対して

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{(2\alpha+1)a_n+\alpha}{1-\alpha a_n} \end{aligned} $$

に代入して、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{(2\alpha+1)\dfrac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha}+\alpha} {1-\alpha\cdot\dfrac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha}} \end{aligned} $$

となる。

分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} (2\alpha+1)\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha}+\alpha &= \frac{n\alpha(2\alpha+1)+\alpha{1-(n-1)\alpha}}{1-(n-1)\alpha} \end{aligned} $$

である。さらに、

$$ \begin{aligned} n\alpha(2\alpha+1)+\alpha{1-(n-1)\alpha} &= 2n\alpha^2+n\alpha+\alpha-(n-1)\alpha^2 \\ (n+1)\alpha^2+(n+1)\alpha \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} (2\alpha+1)a_n+\alpha &= \frac{(n+1)\alpha(\alpha+1)}{1-(n-1)\alpha} \end{aligned} $$

である。

また分母は、

$$ \begin{aligned} 1-\alpha a_n &= 1-\alpha\cdot\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} \\ \frac{1-(n-1)\alpha-n\alpha^2}{1-(n-1)\alpha} \end{aligned} $$

となる。ここで、

$$ \begin{aligned} 1-(n-1)\alpha-n\alpha^2 &= (1-n\alpha)(1+\alpha) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 1-\alpha a_n &= \frac{(1-n\alpha)(1+\alpha)}{1-(n-1)\alpha} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{\dfrac{(n+1)\alpha(\alpha+1)}{1-(n-1)\alpha}} {\dfrac{(1-n\alpha)(1+\alpha)}{1-(n-1)\alpha}} &= \frac{(n+1)\alpha}{1-n\alpha} \end{aligned} $$

となる。これは

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{(n+1)\alpha}{1+{-(n)\alpha}} \\ \frac{(n+1)\alpha}{1-{(n+1)-1}\alpha} \end{aligned} $$

であり、公式が $n+1$ のときにも成り立つことを示している。

なお、分母が $0$ にならないことも確認しておく。一般項の分母について、

$$ 1-(n-1)\alpha=0 $$

ならば、

$$ \alpha=\frac{1}{n-1} $$

となる。ただし $n=1$ のとき分母は $1$ であり、$n\geqq2$ のときは右辺が有理数である。これは $\alpha$ が無理数であることに反する。

また帰納法の途中で現れる

$$ (1-n\alpha)(1+\alpha) $$

も $0$ にはならない。実際、$1-n\alpha=0$ なら $\alpha=\dfrac1n$、$1+\alpha=0$ なら $\alpha=-1$ となり、いずれも有理数であるから、$\alpha$ が無理数であることに反する。

よって、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} $$

が成り立つ。

解説

この問題では、漸化式をいきなり変形するよりも、まず $a_2,a_3,a_4$ を実際に計算して規則性を見つけるのが自然である。

分母が $1-\alpha,1-2\alpha,1-3\alpha$ と進むため、

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} $$

を予想できる。

証明では、代入後に

$$ 1-(n-1)\alpha-n\alpha^2=(1-n\alpha)(1+\alpha) $$

と因数分解できることが核心である。また、$\alpha$ が無理数である条件は、分母が $0$ にならないことを保証するために使われる。

答え

(1)

$$ a_2=\frac{2\alpha}{1-\alpha},\quad a_3=\frac{3\alpha}{1-2\alpha},\quad a_4=\frac{4\alpha}{1-3\alpha} $$

(2)

$$ a_n=\frac{n\alpha}{1-(n-1)\alpha} \quad(n=1,2,3,\ldots) $$