数学B 数学的帰納法 問題 40 解説

方針・初手

指数の形から、$2^{6n-5}$ と $3^{2n}$ をどちらも $9$ の累乗を用いて表す。特に $2^6=64$ と $3^2=9$ に注目する。

解法1

$n$ は自然数なので、$n\geqq 1$ である。まず

$$ 2^{6n-5}=2^{6(n-1)+1}=2(2^6)^{n-1} $$

と変形できる。また、

$$ 3^{2n}=(3^2)^n=9^n $$

である。

ここで $2^6=64$ であり、$64\equiv 9 \pmod{11}$ であるから、

$$ 2^{6n-5}=2(2^6)^{n-1}\equiv 2\cdot 9^{n-1}\pmod{11} $$

となる。

一方、

$$ 3^{2n}=9^n=9\cdot 9^{n-1} $$

であるから、

$$ 2^{6n-5}+3^{2n}\equiv 2\cdot 9^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}\pmod{11} $$

である。右辺をまとめると、

$$ 2\cdot 9^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}=11\cdot 9^{n-1} $$

となるので、

$$ 2^{6n-5}+3^{2n}\equiv 0\pmod{11} $$

である。

したがって、任意の自然数 $n$ について $2^{6n-5}+3^{2n}$ は $11$ で割り切れる。

解説

この問題では、合同式で周期を調べるよりも、指数の形をそろえる方が簡潔である。

$2^{6n-5}$ は $2(2^6)^{n-1}$ と変形でき、$2^6\equiv 9\pmod{11}$ である。また $3^{2n}=9^n$ なので、どちらも $9^{n-1}$ を共通因数にもつ形になる。

最終的に

$$ 2\cdot 9^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}=11\cdot 9^{n-1} $$

となることが、この問題の核心である。

答え

任意の自然数 $n$ について、

$$ 2^{6n-5}+3^{2n}\equiv 0\pmod{11} $$

であるから、$2^{6n-5}+3^{2n}$ は $11$ で割り切れる。