数学B 漸化式の応用 問題 4 解説

方針・初手

重解をもつ条件は判別式が $0$ であることを使う。各 $a_n$ は正であるから、平方根を取るときに符号は正に決まる。

第 $n$ 番目の方程式

$$ x^2-a_{n+1}x+\frac{1}{a_1a_2\cdots a_n}=0 $$

の重解を $x_n$ とする。

解法1

判別式が $0$ であるから、

$$ a_{n+1}^2-\frac{4}{a_1a_2\cdots a_n}=0 $$

である。したがって

$$ a_{n+1}^2=\frac{4}{a_1a_2\cdots a_n} $$

となる。

条件 (B) より $a_{n+1}>0$ であるから、

$$ a_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}} $$

である。

$n=1$ とすると、$a_1=2$ より

$$ a_2=\frac{2}{\sqrt{a_1}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2} $$

である。

また、重解は二次方程式の解の和から

$$ 2x_n=a_{n+1} $$

を満たすので、

$$ x_n=\frac{a_{n+1}}{2} $$

である。よって

$$ x_1=\frac{a_2}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

次に、$b_n=\log_2 a_n$ とおく。先ほどの式

$$ a_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}} $$

の両辺の $2$ を底とする対数をとると、

$$ b_{n+1} =1-\frac{1}{2}(b_1+b_2+\cdots+b_n) $$

である。

同様に、$n$ を $n-1$ に置き換えると、

$$ b_n =1-\frac{1}{2}(b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}) $$

である。これらを辺々引くと、

$$ b_{n+1}-b_n =-\frac{1}{2}b_n $$

となるから、

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n $$

である。

また、

$$ b_1=\log_2 a_1=\log_2 2=1 $$

なので、$b_n$ は初項 $1$、公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。したがって

$$ b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

である。

よって

$$ a_n=2^{b_n} =2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}} $$

である。

最後に $x_n$ を求める。すでに

$$ x_n=\frac{a_{n+1}}{2} $$

であるから、

$$ x_n =\frac{1}{2}\cdot 2^{\left(\frac{1}{2}\right)^n} =2^{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1} $$

である。

解説

この問題では、重解条件から

$$ a_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}} $$

を得ることが出発点である。

この式はそのままだと積 $a_1a_2\cdots a_n$ を含むため扱いにくいが、$b_n=\log_2 a_n$ とおくことで積が和に変わる。さらに、連続する $b_{n+1}$ と $b_n$ の式を引くことで、和の部分が消えて

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n $$

という単純な等比数列になる。

重解 $x_n$ は、二次方程式の係数から $2x_n=a_{n+1}$ とすぐに分かるので、$a_{n+1}$ が求まれば同時に求められる。

答え

$$ a_2=\sqrt{2} $$

$$ x_1=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n $$

$$ b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$$ a_n=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}} $$

$$ x_n=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1} $$

したがって、空欄は

$$ \boxed{\text{ア}=\sqrt{2}} $$

$$ \boxed{\text{イ}=\frac{1}{\sqrt{2}}} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=\frac{1}{2}b_n} $$

$$ \boxed{\text{エ}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}} $$

$$ \boxed{\text{オ}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}} $$

$$ \boxed{\text{カ}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}} $$